【2022東北大学・文】
考え方
\(K=99\) はそこそこ大きな数であるから、もう少し小さな例として \(K=9\) で考えてみます．
\(l\)、\(m\)、\(n\) は正の奇数であるから、自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を用いて、
\(l=2a-1\)、\(m=2b-1\)、\(n=2c-1\) とおける．
\(l+m+n=9\) のとき
\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=9 \iff a+b+c=6\)
解答
(１)
\(l\)、\(m\)、\(n\) は正の奇数であるから、自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) を用いて、
\(l=2a-1\)、\(m=2b-1\)、\(n=2c-1\) とおける．
\(l+m+n=99\) のとき
\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=9 \iff a+b+c=51\)
(２)
(１)より、\(a+b+c=51\) を満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) の組の中で、
(ア) \(3\) つとも同じとき
\(( a , b , c )=( 17 , 17 , 17 )\) の \(1\) 通り
(イ) \(2\) つだけ同じとき
このとき、\(a=b\) のみ等しい、\(b=c\) のみ等しい、\(c=a\) のみ等しいの \(3\) 通りあり、
\(a=b\) のときは、
\(( a , b , c )=( 1 , 1 , 49 ) , ( 2 , 2 , 47 ) , \cdots , ( 16 , 16 , 19 ) , ( 18 , 18 , 15 ) , \cdots , ( 25 , 25 , 1 )\) の \(24\) 通り
よって、\(3\times 24=72\)
(ア)、(イ)より、\(72+1=73\) 通り
(３)
(１)と同様に考える．
\(l+m+n=K\) のとき
\((2a-1)+(2b-1)+(2c-1)=K \iff a+b+c=\displaystyle\frac{K+3}{2}\) より
\((K-4)^2>17\)
これを満たす最小の \(3\) より大きな奇数 \(K\) は、\(K=9\)
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