【2023東京大学・理科・第５問】整式の割り算，因数定理

【2023東京大学・理科・第５問】

整式 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ を考える．

(１)　 $g(x)$ を実数を係数とする整式とし， $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく． $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ．

(２)　 $a$ ， $b$ を実数とし， $h(x)=x^2+ax+b$ とおく． $h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_{1}(x)$ とおき， $h_{1}(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_{2}(x)$ とおく． $h_{2}(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a$ ， $b$ の組をすべて求めよ．

解答・解説

解答・解説

(１)

$g(x)$ を $f(x)$ で割った商を $q(x)$ とすると

$g(x)=f(x)q(x)+r(x)$ となり

$g(x)^7=\left\{f(x)q(x)+r(x)\right\}^7$

$=\left\{f(x)q(x)\right\}^7+_{7}C_{1}\left\{f(x)q(x)\right\}^6r(x)+\cdots+_{7}C_{6}f(x)g(x)r(x)^6+r(x)^7$

$=f(x)\left\{f(x)^6g(x)^7+7f(x)^5g(x)^6r(x)+\cdots+7g(x)r(x)^6\right\}+r(x)^7$

したがって，「 $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り」は「 $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り」に等しい．

(２)

(１)の結果を利用すると

「 $h_{1}(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り」は「 $\left\{h(x)^7\right\}^7=h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余り」に等しい．

つまり， $h_{2}(x)$ は $h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りに等しい

$h_{2}(x)$ が $h(x)$ に等しくなるとき，

$h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りが $h(x)$ となる実数 $a$ ， $b$ の組を求めればよい．

ここで， $h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った商を $Q(x)$ とおくと

$h(x)^{49}=f(x)Q(x)+h(x)$

$(x^2+ax+b)^{49}=(x-1)^2(x-2)Q(x)+(x^2+ax+b)$ ・・・①

①に $x=1$ を代入すると

$(1+a+b)^{49}=1+a+b$

$\iff$ $(a+b+1)\left\{(a+b+1)^{48}-1\right\}=0$ ・・・②

①に $x=2$ を代入すると

$(4+2a+b)^{49}=4+2a+b$

$\iff$ $(2a+b+4)\left\{(2a+b+4)^{48}-1\right\}=0$ ・・・③

①の式を $x$ で微分すると　（☜下記に補足あり）

$49(x^2+ax+b)^{48}(2x+a)\\=2(x-1)\left\{(x-2)Q(x)\right\}+(x-1)^2\left\{(x-2)Q(x)\right\}^{\prime}+2x+a$

これに $x=1$ を代入すると

$49(1+a+b)^{48}(2+a)=2+a$

$\iff$ $(a+2)\left\{49(a+b+1)^{48}-1\right\}=0$ ・・・④

②より $a+b+1=0$ または $(a+b+1)^{48}-1=0$

( ⅰ )　 $a+b+1=0$ のとき

④より $(a+2)(-1)=0$ $\iff$ $a=-2$

よって， $b=1$

これを③に代入すると成立するため適する．

ゆえに $(a,b)=(-2,1)$

( ⅱ )　 $(a+b+1)^{48}-1=0$ のとき

$a$ ， $b$ は実数より

$a+b+1=\pm 1$

$a+b=-2,0$

(ア)　 $a+b=-2$ のとき

④より $(a+2)\left\{49\cdot(-1)^{48}-1\right\}=0$

よって $a=-2$ ， $b=0$

これを③に代入すると成立するため適する．

ゆえに $(a,b)=(-2,0)$

(イ)　 $a+b=0$ のとき

④より $(a+2)\left\{49\cdot 1^{48}-1\right\}=0$

よって $a=-2$ ， $b=2$

しかし，これを③に代入すると $2\cdot(2^{48}-1)\not=0$ となり不適

以上から， $(a,b)=(-2,1),(-2,0)$

補足①

上記の青線部分について

数学Ⅲの微分を履修している方はご存知かと思いますが，積の微分，合成関数の微分を利用してました。数学ⅡBまでの方でも知っておいて損はしない，微分の公式を紹介！

※表記簡略化のため， $f(x)$ $\rightarrow$ $f$ のように表しています。

・ $(f\cdot g)^{\prime}=f^{\prime}\cdot g+f\cdot g^{\prime}$

・ $\left(f^n\right)^{\prime}=nf^{n-1}\cdot f^{\prime}$

補足②因数定理・重解バージョン

今回は微分をして処理しましたが，一般に次のようなことが言えます。

結果をぜひ覚えておきましょう！

因数定理(重解)

$f(x)$ を $n$ 次多項式， $k$ を $n$ 以下の正の整数とする．

多項式 $f(x)$ が $(x-\alpha)^k$ で割り切れる

$\iff$ $f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=f^{\prime\prime}(\alpha)=\cdots=f^{(k-1)}(\alpha)=0$

※ $f^{(k-1)}(x)$ は， $f(x)$ の $k-1$ 階微分を表す．

例えば $f(x)$ が $(x-1)^3$ で割り切れるとき

$f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime\prime}(1)=0$ が成り立つということですね！

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