【2021 自治医科大学・医［第３問］】
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする．
\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となるときのすべての \(n\) の和を \(S\) とする．
\(\displaystyle\frac{S}{2}\) の値を求めよ．
考え方（ポイント）
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１〜３のいずれかで処理できます。
さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。
整数問題の極意 👉 実験する
※規則性や法則を見つけたい
※規則や法則を見つけ、証明を必ず与えるように！
ただ実験して規則や法則を見つけただけでは、ただの予想です！
方針が見えなければ実験！
・\(n=2\) のとき
\(n^2-2n+3=3\) より条件を満たす．
・\(n=3\) のとき
\(n^2-2n+3=6\) となり素数ではない．
・\(n=5\) のとき
\(n^2-2n+3=18\) となり素数ではない．
・\(n=7\) のとき
\(n^2-2n+3=38\) となり素数ではない．
\(n = 3 , 5 , 7 , \cdots\) のとき、
\(n^2-2n+3\) は \(2\) の倍数？？と予想！
👉 これを証明できればよい！
解答
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする．
\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となるときのすべての \(n\) の和を \(S\) とする．
\(\displaystyle\frac{S}{2}\) の値を求めよ．
・\(n=2\) のとき
\(n^2-2n+3=3\) より条件を満たす．
・\(n≧3\) のとき
\(n\) が素数であるならば \(n\) は奇数であるから
法を \(2\) として、
\(n ≡ 1\)
このとき
\(n^2-2n+3 ≡ 1-2+3 = 0\)
よって \(n^2-2n+3\) は \(2\) の倍数
つまり、\(n^2-2n+3\) が素数となる場合、
\(n^2-2n+3=2\) のみ
これを解くと
\(n^2-2n+1=0\\(n-1)^2=0\\n=1\)
これは \(n≧3\) に反するため、 \(n^2-2n+3\) は素数でない
以上より、\(n\) と \(n^2-2n+3\) がどちらも素数となる \(n\) の値は \(n=2\) のみ
つまり \(S = 2\) より\(\displaystyle\frac{S}{2} = 1\)
類題演習
考え方の類題演習として、
にチャレンジしてみてください！
コメント
n^-2n+3=(n-1)^+2…①となることよりn>2を満たす素数に対し①は必ず2より大きい偶数値を取りうる。よって、このような素数は不適。ゆえに、n=2のみが候補となりうるがこれは条件を満たす。従って、S=2となり求める値は1。
とかはどうでしょうか？
とてもよい解答ですね！
偶奇に注目した点について私は合同式(mod2)で処理をしました。
他の問題でも様々なアプローチ、解法があるかと思います！
私もまだまだ完璧な解答ばかりを記載しているわけでもありませんので、ぜひよい解答がありましたら紹介ください！
これからもよろしくお願いします！