n 個のさいころを同時に振り、出た目の数の最大のものを M、最小のものを m とするとき、M-m>1 となる確率を求めよ．
考え方【余事象の利用】
M-m>1 を満たすのは、M-m = 2 , 3 , 4 , 5 のいずれか
もちろん 4 つの場合分けをしても良いが、少し大変・・・。
☞ 余事象の利用！
M-m≦1 を満たすもの、
つまり、M-m = 0 , 1 を考え、全体から引けばよい．
解答
(ア) M-m=0 のとき
つまり、n 個のさいころ全て同じ目が出ると言うことであるから、6 通り
(イ) M-m=1 のとき
( M , m )=( 6 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 , 1 ) の 5 通りある．
( M , m )=( 6 , 5 ) となるとき
n 個のさいころすべてが「5 の目 または 6 の目」
(ただし、n 個すべてが同じ目になるものは除く)
つまり、2^n-2 通り
( M , m )=( 5 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 , 1 ) のときも同様であるから、
5(2^n-2) 通り
(ア)、(イ)より、求める確率は
1-\displaystyle\frac{6+5(2^n-2)}{6^n}=\displaystyle\frac{6^n-5\cdot2^n+4}{6^n}
参考【正攻法で考える】
上では余事象を使って考えたが、演習として正攻法で解くとどうなるかを考えてみよう！
1 つのやり方が分かれば他は同様に処理できるため、ここでは
M-n=5 のときを例にとって行ってみる．
M-n=5 のときの確率
M-n=5 となるのは、
( M , m )=( 6 , 1 ) のときのみ
ここで、
事象 A：少なくと も1 回は 6 の目が出る
事象 B：少なくと も1 回は 1 の目が出る
とおくと、求める確率は P(A \cap B)
よって、
P(A \cap B)=1-P(\overline{A\cap B})=1-P(\bar{A} \cup \bar{B})
ここで、
P(\bar{A} \cup \bar{B})=P(\bar{A})+P(\bar{B})-P(\bar{A}\cap\bar{B})
つまり、( 6 の目が出ない)＋( 1 の目が出ない)ー( 1 も 6 も出ない)
よって、
P(\bar{A} \cup \bar{B})=\displaystyle\frac{5^n+5^n-4^n}{6^n}=\displaystyle\frac{2\cdot 5^n-4^n}{6^n}
したがって求める確率は、
P(A \cap B)=1-\displaystyle\frac{2\cdot 5^n-4^n}{6^n}=\displaystyle\frac{6^n-2\cdot 5^n+4^n}{6^n}
2017京都大学・文系
n を 2 以上の自然数とする．さいころを n 回振り、出た目の最大値を M と最小値を L の差 M-L を X とする．
(1) X=1 である確率を求めよ．
(2) X=5 である確率を求めよ．
(1)は余事象で考えた(イ)のこと
(2)は参考で紹介した解法です．
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