【2005防衛大学校】
\(0\) でない実数 \(x\)， \(y\)， \(z\) が \(x+y+z=a\)， \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{1}{a}\) を満たすとき，次の問に答えよ．
(１) \((a-x)(a-y)(a-z)\) の値を求めよ．
(２) \(w=x^n+y^n+z^n\) とおくとき，\(w\) と \(a^n\) との大小を調べよ．ただし，\(n\) は正の整数である．
考え方・解答
(１)解答
\(x+y+z=a\)・・・①
\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{1}{a}\) ・・・②
②より，\(a(xy+yz+zx)=xyz\) ・・・③
\((a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-a^3\)
より，①，③から
\((a-x)(a-y)(a-z)=a^3-a^3+xyz-xyz=0\)
(２)考え方
(１)より \((a-x)(a-y)(a-z)=0\) であるから
\(a=x\) または \(a=y\) または \(a=z\)
つまり， \(x\)， \(y\)， \(z\) のうち少なくとも \(1\) つは \(a\) である．
👉 \(x\)， \(y\)， \(z\) は対称式であるから，\(z=a\) として一般性を失わない
《参考》
「\(3\) つの基本対称式 ( \(x+y+z\) , \(xy+yz+zx\) , \(xyz\) ) が与えられ，少なくとも１つが〇〇」という問題は頻出テーマ！４STEPにものっています。
例題演習として福岡教育大学の問題をご確認ください⏬
(２)解答
(１)より \(x\)， \(y\)， \(z\) のうち少なくとも \(1\) つは \(a\) であるから，\(z=a\) として一般性を失わない．
このとき，①より \(x+y=0\) より \(y=-x\) であるから
\(w=x^n+y^n+z^n=x^n+(-x)^n+a^n\)
\(n\) が奇数のとき \(w=a^n\)
\(n\) が偶数のとき \(w=2x^n+a^n>a^n\)
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