【漸化式7】n振分け型(階差数列の利用)｜解法パターン｜数学B数列

漸化式は完全暗記もの！

数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！

特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。

パターン7． $a_{n+1}=pa_{n}+$( $n$ の 1 次式 )

※ $p=1$ のとき，階差数列型(パターン3) になります。

ここでは $p≠1$ について考えます．また， $n$ の 1 次式について扱いますが，2 , 3 , ・・・次式となっても，基本的には同様に扱うことができます。(計算は大変ですが・・・)

解法Ⅰ．振分けタイプ

※ 2012年センター試験にてこちらの解法の誘導で出題されました。この後に紹介する方法の方が解法としては有名かもしれませんが，入試ではどのような誘導形式で出題れる分かりませんので，様々な解法を経験しておきましょう！

$a_{n+1}=2a_{n}+2n-2$

$\iff$ $a_{n+1}+2(n+1)=2(a_{n}+2n)$

数列 $\left\{ a_{n}+2n \right\}$ は，初項が $a_{1}+2=2$ , 公比が $2$ の等比数列であるから，

$a_{n}+2n=2\cdot 2^{n-1}$

したがって，$a_{n}=2^n-2n$

参考：$a_{n+1}=pa_{n}+$( $n$ の 2 次式 )

$a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta)$ ・・・①とおいたのは，

与式を等比数列の形に変形することが目的です！

パターン４の隣接二項間特性方程式のタイプも，特性方程式を解くことで等比数列の形に変形しています。漸化式の解法の原則は，「等比数列の形に変形する」であることを知っておきましょう！

この考え方がしっかりと身につけば，

解法Ⅱ．階差数列の利用

$a_{n+1}=2a_{n}+2n-2$ ・・・(ア)

(ア)において， $n$ を $n+1$ とすると，

$a_{n+2}=2a_{n+1}+2(n+1)-2$

$\iff$ $a_{n+2}=2a_{n+1}+2n$ ・・・(イ)

(イ) ー (ア) より

\(\a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2)

ここで $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ とおくと

$b_{1}=a_{2}-a_{1}=(2a_{1}+2-2)-a_{1}=0$ ,

$b_{n+1}=2b_{n}+2$

パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！

$\alpha=2\alpha+2$ $\iff$ $\alpha=-2$ より

$b_{n+1}+2=2(b_{n}+2)$

数列 $\left\{ b_{n}+2 \right\}$ は，初項が $b_{1}+2=2$ , 公比が $2$ の等比数列であるから，

$b_{n}+2=2\cdot 2^{n-1}$ $\iff$ $b_{n}=2^n-2$

よって，$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ より

$a_{n+1}-a_{n}=2^n-2$

パターン３：階差数列型に帰着した！

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！

$n≧2$ のとき

$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(2^k-2)}$

$=\displaystyle\frac{2\cdot(2^{n-1}-2)}{2-1}-2(n-1)=2^n-2n$

$n=1$ のとき，$a_{1}=2-2=0$ となり成立

したがって，$a_{n}=2^n-2n$

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