【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
14．\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)
漸化式は完全暗記もの！数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
その中でも基本として押さえてほしい１３パターンは「」にまとめています。参考にしてください。
ここでは、基礎パターンがしっかりと身についている方に向けて、発展的な漸化式の紹介です。
パターン14．分数型(発展)２実数解タイプ
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}\)
👉 \(x=\displaystyle\frac{rx+s}{px+q}\) を満たす \(x\) を \(\alpha\) ， \(\beta\) ( \(\alpha<\beta\)) とするとき，
\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}-\alpha}{a_{n}-\beta}\) とおく
※ \(s=0\) のときはパターン６(分数型(基本))を参考に
※ \(\alpha\) , \(\beta\) の大小関係については，\(\alpha>\beta\) でもOK
一般的には誘導形式になることが多い．
※ 重解型は「こちら」
解答・解説
14．\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}+1}{a_{n}-2}\) ・・・① とおく．
\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-2}\) より
\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}+1}{\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}-2}=\displaystyle\frac{4(a_{n}+1)}{a_{n}-2}\)
① より \(b_{n+1}=4b_{n}\)
必ず等比数列の形になります！
等比数列になるという結果は覚えておきましょう！
ここで，\(b_{1}=\displaystyle\frac{a_{1}+1}{a_{1}-2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから，
数列 \(\left\{ b_{n} \right\}\) は初項：\(-\displaystyle\frac{1}{2}\) ，公比：\(4\) の等比数列
よって，\(b_{n}=-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 4^{n-1}=-2^{2n-3}\) ・・・②
また ① より
\((a_{n}-2)b_{n}=a_{n}+1\) \(\iff\) \((b_{n}-1)a_{n}=2b_{n}+1\)
\(b_{1}=1\) のとき明らかに成立しないため，\(b_{1}≠1\) であるから
\(a_{n}=\displaystyle\frac{2b_{n}+1}{b_{n}-1}\)
この式に ② を代入すると
\(a_{n}=\displaystyle\frac{2\cdot(-2^{2n-3})+1}{-2^{2n-3}-1}\)
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{2^{2n-2}-1}{2^{2n-3}+1}\)
これは経験したことがなかったら無理ですね・・・。
一般的には誘導がつくことが多いですが、大まかな流れだけでも知っておきましょう！
コメント