【2021京都大学(理)】
\(xyz\) 空間の \(3\) 点 \(A(1,0,0)\) , \(B(0,-1,0)\) , \(C(0,0,2)\) を通る平面 \(\alpha\) に関して点 \(P(1,1,1)\) と対称な点 \(Q\) の座標を求めよ．
ただし，点 \(Q\) が平面 \(\alpha\) に関して \(P\) と対称であるとは，線分 \(PQ\) の中点 \(M\) が平面 \(\alpha\) 上にあり，直線 \(PM\) が \(P\) から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線となることである．
平面の方程式，点と面の距離の公式，外積など，学校の授業では学習しないが，入試では頻出の知っておきたい差がつくテーマになります。
考え方・方針について
外積について
※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という
※ 外積は高校数学では学習しません。（教科書に載っていません）そのため，記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと！
平面の方程式について
知らなくても解けますが，知っておくと色々と便利で計算が簡略化できます！
特に難関大学では頻出ですので，覚え・使えるように！
解答
\(\overrightarrow{AB}=(-1,-1,0)\)
\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)\) より，
\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の両方に垂直なベクトルの \(1\) つを \(\overrightarrow{n}\) とおくと，
\(\overrightarrow{n}=(-2,2,-1)\) より
\(\overrightarrow{n}\) を求める作業で外積を利用しました！
外積は高校数学の範囲外ですので，記述で使うと減点の可能性があります。
そのため外積を利用する際は，計算用紙(メモ)などで計算し，結論のみ記述しましょう！
平面 \(\alpha\) の方程式は
\(-2(x-1)+2y-z=0\)
\(2x-2y+z-2=0\) ・・・①
ここで点 \(P\) から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線の足を \(M\) とおくと，実数 \(t\) を用いて
\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{n}\) と表せる．
\(\overrightarrow{OM}=(1,1,1)+t(-2,2,-1)=(-2t+1,2t+1,-t+1)\)
よって，\(M(-2t+1,2t+1,-t+1)\)
点 \(M\) は①上にあるので代入すると
\(2(-2t+1)-2(2t+1)+(-t+1)-2=0\)
\(-9t-1=0\) \(\iff\) \(t=\displaystyle\frac{-1}{9}\)
よって，\(M\left(\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{7}{9},\displaystyle\frac{10}{9}\right)\)
点 \(M\) は \(PQ\) の中点であるから，\(Q(a,b,c)\) とおくと
\(\left(\displaystyle\frac{a+1}{2},\displaystyle\frac{b+1}{2},\displaystyle\frac{c+1}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{7}{9},\displaystyle\frac{10}{9}\right)\)
したがって，\(a=\displaystyle\frac{13}{9}\) , \(b=\displaystyle\frac{5}{9}\) , \(c=\displaystyle\frac{11}{9}\) より
求める点 \(Q\) は \(Q\left(\displaystyle\frac{13}{9},\displaystyle\frac{5}{9},\displaystyle\frac{11}{9}\right)\)
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