【2021東京大学・文系】
\(a\) を正の実数とする．座標平面上の曲線 \(C\) を \(y=ax^3-2x\) で定める．原点を中心とする半径 \(1\) の円と \(C\) の共有点の個数が \(6\) 個であるような \(a\) のん範囲を求めよ．
考え方・解答・解説
\(y=ax^3-2x\) ・・・①
原点を中心とする半径 \(1\) の円： \(x^2+y^2=1\) ・・・②
①，②より
\(x^2+(ax^3-2x)^2=1\) より
\(a^2x^6-4ax^4+5x^2-1=0\) ・・・③
題意は，③の実数解が \(6\) 個になればよい．
\(t=x^2\) と置き換えることで，\(3\) 次方程式に変形することができます！
考え方や例題は、「置き換えによる２次関数の最大・最小［４STEP 162番］頻出重要問題・複二次式」を参考に！
ここで，\(t=x^2\) とおくと③は
\(a^2t^3-4at^2+5t-1=0\) ・・・④
このとき，\(t=0\) のとき④の解ではないので \(t>0\)
\(t>0\) を満たす任意の \(1\) つの \(t\) に対して，\(x\) は実数解を \(2\) つもつことになるため
題意を満たすためには，④を満たす正の実数 \(t\) が全部で \(3\) 個存在すればよい．
\(3\) 次方程式が解を \(3\) 個もつときの考え方は，定数分離できるかどうかで方針が変わりましたね！
本問では定数分離ができないため，「【2019早稲田大学・教育】非定数分離型・異なる3つの実数解を持つ条件」で学習した考え方を利用しましょう！
④の左辺を \(f(t)\) とおくと
\(f^{\prime}(t)=3a^2t^2-8at+5=(at-1)(3at-5)\)
\(f^{\prime}(t)=0\) のとき，\(t=\displaystyle\frac{1}{a}\) , \(\displaystyle\frac{5}{3a}\)
\(a>0\) より\(0<\displaystyle\frac{1}{a}<\displaystyle\frac{5}{3a}\) であるから，\(t>0\) における増減表は以下のようになる．
ゆえに題意を満たすためには，
\(f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)>0\) かつ \(f\left(\displaystyle\frac{5}{3a}\right)<0\) を満たせばよい．
\(f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)=\displaystyle\frac{2}{a}-1>0\) より \(0<a<2\)
\(f\left(\displaystyle\frac{5}{3a}\right)=\displaystyle\frac{50}{27a}-1<0\) より \(a>\displaystyle\frac{50}{27}\)
したがって，\(\displaystyle\frac{50}{27}<a<2\)
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