【2022共通テスト】数学ⅡB:第5問平面ベクトル|円と直線、点の存在 | マスマス学ぶ
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【2022共通テスト】数学ⅡB:第5問平面ベクトル|円と直線、点の存在

共通テスト(センター試験)

【2022数学ⅡB第5問平面ベクトル】

(1)問題と解答・解説

(1)解答・解説

\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos\angle AOB であり,

\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=1\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\displaystyle\frac{2}{3} より

\cos\angle AOB=-\displaystyle\frac{2}{3} ・・・《アイウ》

次に,点 P は線分 ABt : 1-t に内分するので,

\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}

となる.よって実数 k を用いて,\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP} と表せるので,

\overrightarrow{OQ}=(k-kt)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} ・・・《エ:① , オ:⓪》

\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OA} より

\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} ・・・《カ:④ , キ:⓪》

\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OP} \iff \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0 より

\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right\}=0

(1-t)\left|\overrightarrow{}\right|^2+t\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

1-t-\displaystyle\frac{2}{3}t=0

よって,t=\displaystyle\frac{3}{5} ・・・《クケ》

(2)問題と解答・解説

(2)解答・解説

\angle OCQ が直角のとき

\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CQ}=0

-\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\right\}=0

-(k-kt+1)\left|\overrightarrow{OA}\right|^2-kt\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

-k+kt-1+\displaystyle\frac{2}{3}kt=0

(5t-3)k=3

t\not=\displaystyle\frac{3}{5} より,k=\displaystyle\frac{3}{5t-3} ・・・《コサシ》

\angle OCQ が直角であるから,

Q は点 O を中心とした半径 1 の円における

C での接線上にある

( ⅰ ) 0<t<\displaystyle\frac{3}{5} のとき

0°<\angle AOP<90° より

QD_{2} に含まれ,かつ E_{2} に含まれる・・・《ス》

 

( ⅱ ) \displaystyle\frac{3}{5}<t<1 のとき

90°<\angle AOP<\angle AOB より

Q は ⓪ D_{1} に含まれ,かつ E_{1} に含まれる・・・《セ》

 

(3)問題と解答・解説

(3)解答・解説

t=\displaystyle\frac{1}{2} のとき k=\displaystyle\frac{3}{5k-3} より

k=-6 である.

よって,\overrightarrow{OQ}=-6\overrightarrow{OP} より

\overrightarrow{OQ}=-6\left(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\right)

=-3\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}

\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2=9\left(\left|\overrightarrow{OA}\right|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\right)=6

したがって,\left|\overrightarrow{OQ}\right|=\sqrt{6} ・・・《ソ》

直線 OA に関して,t=\displaystyle\frac{1}{2} のとき点 Q と対称な点を R とすると,

\overrightarrow{CR}=-\overrightarrow{CQ} ・・・《タ》

=-\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}\right)

=-\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OC}

=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} ・・・《チツ》

これが (1) で求めた \overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} と一致するとき,\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} は一次独立なベクトルであるから,

\begin{cases}k-kt+1=2\\kt=3\end{cases}

よって,k=4 , t=\displaystyle\frac{3}{4} ・・・《テト》

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