【2022数学ⅡB第5問平面ベクトル】
(1)問題と解答・解説
(1)解答・解説
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos\angle AOB であり,
\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=1,\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\displaystyle\frac{2}{3} より
\cos\angle AOB=-\displaystyle\frac{2}{3} ・・・《アイウ》
次に,点 P は線分 AB を t : 1-t に内分するので,
\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}
となる.よって実数 k を用いて,\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP} と表せるので,
\overrightarrow{OQ}=(k-kt)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} ・・・《エ:① , オ:⓪》
\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OA} より
\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} ・・・《カ:④ , キ:⓪》
\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OP} \iff \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0 より
\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right\}=0
(1-t)\left|\overrightarrow{}\right|^2+t\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0
1-t-\displaystyle\frac{2}{3}t=0
よって,t=\displaystyle\frac{3}{5} ・・・《クケ》
(2)問題と解答・解説
(2)解答・解説
\angle OCQ が直角のとき
\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CQ}=0
-\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\right\}=0
-(k-kt+1)\left|\overrightarrow{OA}\right|^2-kt\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0
-k+kt-1+\displaystyle\frac{2}{3}kt=0
(5t-3)k=3
t\not=\displaystyle\frac{3}{5} より,k=\displaystyle\frac{3}{5t-3} ・・・《コサシ》
\angle OCQ が直角であるから,
点 Q は点 O を中心とした半径 1 の円における
点 C での接線上にある
( ⅰ ) 0<t<\displaystyle\frac{3}{5} のとき
0°<\angle AOP<90° より
点 Q は ③ D_{2} に含まれ,かつ E_{2} に含まれる・・・《ス》
( ⅱ ) \displaystyle\frac{3}{5}<t<1 のとき
90°<\angle AOP<\angle AOB より
点 Q は ⓪ D_{1} に含まれ,かつ E_{1} に含まれる・・・《セ》
(3)問題と解答・解説
(3)解答・解説
t=\displaystyle\frac{1}{2} のとき k=\displaystyle\frac{3}{5k-3} より
k=-6 である.
よって,\overrightarrow{OQ}=-6\overrightarrow{OP} より
\overrightarrow{OQ}=-6\left(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\right)
=-3\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}
\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2=9\left(\left|\overrightarrow{OA}\right|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\right)=6
したがって,\left|\overrightarrow{OQ}\right|=\sqrt{6} ・・・《ソ》
直線 OA に関して,t=\displaystyle\frac{1}{2} のとき点 Q と対称な点を R とすると,
\overrightarrow{CR}=-\overrightarrow{CQ} ・・・《タ》
=-\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}\right)
=-\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OC}
=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} ・・・《チツ》
これが (1) で求めた \overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB} と一致するとき,\overrightarrow{OA} と\overrightarrow{OB} は一次独立なベクトルであるから,
\begin{cases}k-kt+1=2\\kt=3\end{cases}
よって,k=4 , t=\displaystyle\frac{3}{4} ・・・《テト》



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