【2011大阪大学】どのような(任意の)整数⇒必要条件で考え、十分条件の確認

任意の○○で成り立つ⇒必要条件で考える

※○○には，「実数」や「整数」など

任意の値で成り立つということは，何を代入しても成り立つということ！

そこで，最初に都合のいい値を代入し，答えを求めましょう！

※しかし記述の場合，ここで解答を終了したら大幅減点！

答えを求めたら，その値を元の式に代入して一般的に成り立つか確認しましょう！

解答・解説

$l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{x-z}=13l+36m+ny$ ・・・①

①はどのような整数 $l$ , $m$ , $n$ に対しても成り立つので，

①に次の値をそれぞれ代入しても等式は成立する

( ⅰ )　$l=0$ , $m=0$ , $n=1$ のとき

$-x=y$ ・・・②

( ⅱ )　$l=0$ , $m=1$ , $n=0$ のとき

$10^{x-z}=36$ ・・・③

( ⅲ )　$l=1$ , $m=0$ , $n=0$ のとき

$10^{x-y}+10^{y-z}=13$ ・・・④

②を④に代入して

$10^{2x}+10^{-x-z}=13$ ・・・⑤

ここで $a=10^x$ , $b=10^z$ ( $a>0$ , $b>0$ ) とおくと

③，⑤より

$\displaystyle\frac{a}{b}=36$ , $a^2+\displaystyle\frac{1}{ab}=13$

よって，$a^2+\displaystyle\frac{36}{a^2}=13$

$a^4-13a^2+36=0$

$(a^2-4)(a^2-9)=0$

$a>0$ より $a=2,3$

・$a=2$ のとき $b=\displaystyle\frac{1}{18}$

$10^x=2$ , $10^z=\displaystyle\frac{1}{18}$

$x=\log_{10}{2}$ , $z=-\log_{10}{18}$

よって，$(x,y,z)=(\log_{10}{2},-\log_{10}{2},-\log_{10}{18})$

・$a=3$ のとき $b=\displaystyle\frac{1}{12}$

$10^x=3$ , $10^z=\displaystyle\frac{1}{12}$

$x=\log_{10}{3}$ , $z=-\log_{10}{12}$

よって，$(x,y,z)=(\log_{10}{3},-\log_{10}{3},-\log_{10}{12})$

ここまでは必要条件を考えた答え！

必ずこれらの答えが一般に成り立つかどうか「十分条件の確認」を記述しましょう！

逆にこのとき，①の両辺にそれぞれ代入するとともに成立する．

したがって，

$(x,y,z)=(\log_{10}{2},-\log_{10}{2},-\log_{10}{18}),(\log_{10}{3},-\log_{10}{3},-\log_{10}{12})$

本問は代入した計算は省略しますが，計算については各自しっかりと成り立つか確認しておきましょう！