【2022数学ⅡB】第１問[１](図形と方程式)
(１)問題と解答・解説《ア〜イ》
解答・解説《ア〜イ》
\(x^2+y^2-4x-10y+4≦0\) より
\((x-2)^2+(y-5)^2≦25\)
よって，領域 \(D\) は
中心が点 \((2,5)\) , 半径 \(5\) の円の周および内部 ・・・《ア〜エ》
(２)ー( ⅰ )問題と解答・解説《オ》
解答・解説《オ》
円 \(C\) は，中心 \((2,5)\) , 半径 \(5\) の円であり，
それを図示すると右図のようになる．
よって， \(A (-8 , 0)\) を通る円 \(C\) の接線の \(1\) つは
\(x\) 軸つまり，\(y=0\) ・・・《オ》
(２)ー( ⅱ )問題と解答・解説《カ》
解答・解説《カ》
\(y=k(x+8)\) を \(x^2+y^2-4x-10y+4=0\) に代入しまとめると
\((k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0\)
を得るので，これが重解をもつ(⓪)とき \(k\) の値が接線の傾きとなる．・・・《オ》
(２)ー( ⅲ )問題と解答・解説《キ〜ケ》
解答・解説《キ〜ケ》
右図より，\(\tan θ=\displaystyle\frac{5}{10}=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《キク》
であり，直線 \(y=0\) と異なる接線の傾きは
\(\tan 2\theta\) (①) ・・・《ケ》
と表すことができる．
(２)ー( ⅲ )問題と解答・解説《コ〜シ》
解答・解説《コ〜シ》
( ⅱ ) の考えについての解答
\((k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0\) が重解をもつとき
判別式を \(D\) とすると，
\(\displaystyle\frac{D}{4}=(8k^25k-2)^2-(k^2+1)(64k^2-80k+4)=0\)
\(75k^2-100k=0\)
よって，\(k=0,\displaystyle\frac{4}{3}\)
したがって，\(k_{0}=\displaystyle\frac{4}{3}\) ・・・《コサ》
( ⅲ ) の考えについての解答
\(2\) 倍角の公式から
\(\tan 2\theta=\displaystyle\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2\theta}\)
\(\tan \theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) より
\(k_{0}=\displaystyle\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{4}{3}\) ・・・《コサ》
最後に，直線 \(y=k(x+8)\) と領域 \(D\) が共有点をもつような \(k\) の値の範囲は，
\(0≦k≦k_{0}\) ・・・《シ》
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