【2021和歌山県立医科大学・医学部・第２問】
自然数 a，b，c，n があり，a,b,c≦9 であるとする．p，q，r を
p=2n^2+1，q=np，r=100a+10b+c-1
のように定め，さらに r は 3 で割り切れるとする．
(１) a+b+c-1 は 3 で割り切れることを示せ．
(２) n が 3 で割り切れないとき，p は 3 で割り切れることを示せ．
(３) q は 3 で割り切れることを示せ．
(４) p は 5 で割り切れないことを示せ．
(５) n=a+b+c-1 であり，q と r がともに 15 で割り切れるとする．このとき，r を最大，および最小にする a，b，c をそれぞれ求めよ．
合同式について
整数問題を扱う上で，合同式は必須アイテムです！
合同式の基本的な使い方については，
を確認しましょう！
解答・解説
(１) a+b+c-1 は 3 で割り切れることを示せ．
mod 3 として考える．
100a≡a ，10b≡b より
r=100a+10b+c-1≡a+b+c-1
r≡0 より，a+b+c-1≡0
よって，a+b+c-1 は 3 で割り切れる．
(２) p は 3 で割り切れることを示せ．
mod 3 として考える．
n が 3 で割り切れないとき
n≡1 または n≡2
このとき，n^2≡1 より
p=2n^2+1≡2+1=3≡0
よって p は 3 で割り切れる．
(３) q は 3 で割り切れることを示せ．
( ⅰ ) n が 3 で割り切れるとき
q=np より，q は 3 で割り切れる．
( ⅱ ) n が 3 で割り切れないとき
(２)の結果から， p は 3 で割り切れる．
q=np より，q は 3 で割り切れる．
よって，q は 3 で割り切れる．
(４) p は 5 で割り切れないことを示せ．
mod 5 として考える．
( ⅰ ) n≡0 のとき
p=2n^2+1≡1 より
p は 5 で割り切れない．
( ⅱ ) n≡\pm1 のとき
p=2n^2+1≡3 より
p は 5 で割り切れない．
( ⅲ ) n≡\pm2 のとき
p=2n^2+1=9≡4 より
p は 5 で割り切れない．
よって，p は 5 で割り切れない．
(５) r を最大，および最小にする a，b，c
(３)の結果から，q は 3 で割り切れる．
さらに q=np であり，(４)の結果から，
p は 5 で割り切れないため，
q が 5 で割り切れるとき，n は 5 で割り切れる．
よって，
「 q が 15 で割り切れる 」\iff 「 n が 5 で割り切れる 」・・・①
また，r が 3 で割り切れるとき
(１)の結果から n=a+b+c-1 は 3 で割り切れる．
さらに，r が 5 で割り切れるとき
100a+10b≡0 ( mod 5 ) より
r=100a+10b+c-1≡c-1 ( mod 5 )
1≦c≦9 より，c-1 が 5 で割り切れるのは，c=1,6
つまり，r が 5 で割り切れるとき，c=1,6
よって，
「 r が 15 で割り切れる 」\iff 「 n が 3 で割り切れる かつ c=1,6 」・・・②
①，②より
q と r がともに 15 で割り切れるとき，
c=1,6 かつ n が 15 で割り切れる
ここで，1≦a,b,c≦9 より 2≦n≦26 であるから， n が 15 で割り切れるのは，n=15
よって，n=a+b+c-1 から
15=a+b+c-1 \iff a+b=16-n
( ⅰ ) c=1 のとき
a+b=15 より
(a,b)=(9,6),(8,7),(7,8),(6,9)
( ⅱ ) c=6 のとき
a+b=10 より
(a,b)=(9,1),(8,2),\cdots,(2,8),(1,9)
以上から，q と r がともに 15 で割り切れるとき，r を最大，および最小にする a，b，c はそれぞれ
a=9，b=6，c=1 のとき最大，a=1，b=9，c=6 のとき最小
コメント