【2021和歌山県立医科大学・医学部・第２問】
自然数 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\) があり，\(a,b,c≦9\) であるとする．\(p\)，\(q\)，\(r\) を
\(p=2n^2+1\)，\(q=np\)，\(r=100a+10b+c-1\)
のように定め，さらに \(r\) は \(3\) で割り切れるとする．
(１) \(a+b+c-1\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
(２) \(n\) が \(3\) で割り切れないとき，\(p\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
(３) \(q\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
(４) \(p\) は \(5\) で割り切れないことを示せ．
(５) \(n=a+b+c-1\) であり，\(q\) と \(r\) がともに \(15\) で割り切れるとする．このとき，\(r\) を最大，および最小にする \(a\)，\(b\)，\(c\) をそれぞれ求めよ．
合同式について
整数問題を扱う上で，合同式は必須アイテムです！
合同式の基本的な使い方については，
を確認しましょう！
解答・解説
(１) \(a+b+c-1\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
\(mod 3\) として考える．
\(100a≡a\) ，\(10b≡b\) より
\(r=100a+10b+c-1≡a+b+c-1\)
\(r≡0\) より，\(a+b+c-1≡0\)
よって，\(a+b+c-1\) は \(3\) で割り切れる．
(２) \(p\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
\(mod 3\) として考える．
\(n\) が \(3\) で割り切れないとき
\(n≡1\) または \(n≡2\)
このとき，\(n^2≡1\) より
\(p=2n^2+1≡2+1=3≡0\)
よって \(p\) は \(3\) で割り切れる．
(３) \(q\) は \(3\) で割り切れることを示せ．
( ⅰ ) \(n\) が \(3\) で割り切れるとき
\(q=np\) より，\(q\) は \(3\) で割り切れる．
( ⅱ ) \(n\) が \(3\) で割り切れないとき
(２)の結果から， \(p\) は \(3\) で割り切れる．
\(q=np\) より，\(q\) は \(3\) で割り切れる．
よって，\(q\) は \(3\) で割り切れる．
(４) \(p\) は \(5\) で割り切れないことを示せ．
\(mod 5\) として考える．
( ⅰ ) \(n≡0\) のとき
\(p=2n^2+1≡1\) より
\(p\) は \(5\) で割り切れない．
( ⅱ ) \(n≡\pm1\) のとき
\(p=2n^2+1≡3\) より
\(p\) は \(5\) で割り切れない．
( ⅲ ) \(n≡\pm2\) のとき
\(p=2n^2+1=9≡4\) より
\(p\) は \(5\) で割り切れない．
よって，\(p\) は \(5\) で割り切れない．
(５) \(r\) を最大，および最小にする \(a\)，\(b\)，\(c\)
(３)の結果から，\(q\) は \(3\) で割り切れる．
さらに \(q=np\) であり，(４)の結果から，
\(p\) は \(5\) で割り切れないため，
\(q\) が \(5\) で割り切れるとき，\(n\) は \(5\) で割り切れる．
よって，
「 \(q\) が \(15\) で割り切れる 」\(\iff\) 「 \(n\) が \(5\) で割り切れる 」・・・①
また，\(r\) が \(3\) で割り切れるとき
(１)の結果から \(n=a+b+c-1\) は \(3\) で割り切れる．
さらに，\(r\) が \(5\) で割り切れるとき
\(100a+10b≡0\) ( \(mod 5\) ) より
\(r=100a+10b+c-1≡c-1\) ( \(mod 5\) )
\(1≦c≦9\) より，\(c-1\) が \(5\) で割り切れるのは，\(c=1,6\)
つまり，\(r\) が \(5\) で割り切れるとき，\(c=1,6\)
よって，
「 \(r\) が \(15\) で割り切れる 」\(\iff\) 「 \(n\) が \(3\) で割り切れる かつ \(c=1,6\) 」・・・②
①，②より
\(q\) と \(r\) がともに \(15\) で割り切れるとき，
\(c=1,6\) かつ \(n\) が \(15\) で割り切れる
ここで，\(1≦a,b,c≦9\) より \(2≦n≦26\) であるから， \(n\) が \(15\) で割り切れるのは，\(n=15\)
よって，\(n=a+b+c-1\) から
\(15=a+b+c-1\) \(\iff\) \(a+b=16-n\)
( ⅰ ) \(c=1\) のとき
\(a+b=15\) より
\((a,b)=(9,6),(8,7),(7,8),(6,9)\)
( ⅱ ) \(c=6\) のとき
\(a+b=10\) より
\((a,b)=(9,1),(8,2),\cdots,(2,8),(1,9)\)
以上から，\(q\) と \(r\) がともに \(15\) で割り切れるとき，\(r\) を最大，および最小にする \(a\)，\(b\)，\(c\) はそれぞれ
\(a=9\)，\(b=6\)，\(c=1\) のとき最大，\(a=1\)，\(b=9\)，\(c=6\) のとき最小
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