【2020群馬大学・医学部】漸化式(3+2√2)^n=an+√2bnの一般項、an/bnの極限

解答・解説

(１)　すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}^2-2b_{n}^2=1\)

すべての自然数 \(n\) についての証明ですから，

「数学的帰納法」を考えてみましょう！

( ⅰ )　\(n=1\) のとき

\(3+2\sqrt{2}=a_{1}+\sqrt{2}b_{1}\) となり，\(a_{1}\)，\(b_{1}\) は整数，\(\sqrt{2}\) は無理数であるから，

\(a_{1}=3\)，\(b_{1}=2\) となる．

よって，\(a_{1}^2-2b_{1}=3^2-2\cdot 2^2=1\) となり成立．

( ⅱ )　\(n=k\) のとき

\(a_{k}^2-2b_{k}^2=1\) ・・・① が成立すると仮定する．

また

\(a_{k+1}+\sqrt{2}b_{k+1}=(3+2\sqrt{2})^{k+1}\)

\(=(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^{k}\)

\(=(3+2\sqrt{2})(a_{k}+\sqrt{2}b_{k})\)

\(=(3a_{k}+4b_{k})+\sqrt{2}(2a_{k}+3b_{k})\)

ここで，\(3a_{k}+4b_{k}\)，\(2a_{k}+3b_{k}\) は整数，\(\sqrt{2}\) は無理数であるから，

\(a_{k+1}=3a_{k}+4b_{k}\) ，\(b_{k}=2a_{k}+3b_{k}\) となる．

よって，

\(a_{k+1}^2-2b_{k+1}^2=(3a_{k}+4b_{k})^2-2(2a_{k}+3b_{k})=a_{k}^2-2b_{k}^2\)

①の仮定から，\(a_{k+1}^2-2b_{k+1}^2=1\) となり，\(n=k+1\) のときも成立

したがって，すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}^2-2b_{n}^2=1\) が成り立つ

(２)　数列 \(\left\{a_{n}\right\}\)，\(\left\{b_{n}\right\}\) の一般項

\((3+2\sqrt{2})^n=a_{n}+\sqrt{2}b_{n}\) ・・・②

(１)の結果から

\((a_{n}+\sqrt{2}b_{n})(a_{n}-\sqrt{2}b_{n})=1\)

\((3+2\sqrt{2})^n(a_{n}-\sqrt{2}b_{n})=1\)

よって，\(a_{n}-\sqrt{2}b_{n}=\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}\) ・・・③

②，③より

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(3+2\sqrt{2})^n+\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}\right\}\)

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\left\{(3+2\sqrt{2})^n-\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}\right\}\)

(３)　極限 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}\)

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3+2\sqrt{2})^{-n}}{(3+2\sqrt{2})^n-(3+2\sqrt{2})^{-n}}\)

\(=\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{1+(3+2\sqrt{2})^{-2n}}{1-(3+2\sqrt{2})^{-2n}}\)

ここで，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (3+2\sqrt{2})^{-2n}=0\) なので，求める極限は

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\sqrt{2}\)