【2023大阪医科薬科大学・医学部・第１問】
座標平面上で，放物線 \(C\)：\(y=x^2\) 上の異なる \(2\) 点 \(A(a,a^2)\)，\(B(b,b^2)\) における \(2\) 本の法線の交点を \(P\) とし，点 \(B\) を点 \(A\) に限りなく近づけたときに点 \(P\) が近づく点を \(Q\) とする．
(１) 放物線 \(C\) の点 \(A\) における法線の方程式を求めよ．
(２) \(Q\) の座標を \(a\) を用いて表せ．
(３) \(a\) が \(-1≦a≦1\) の範囲を動くとき，点 \(Q\) が描く曲線の長さを求めよ．
解答・解説
(１) 放物線 \(C\) の点 \(A\) における法線の方程式
\(y=x^2\) より \(y^{\prime}=2x\) なので，\(a\not=0\) のとき点 \(A\) における法線の方程式は
\(y-a^2=-\displaystyle\frac{1}{2a}(x-a)\) \(\iff\) \(x+2ay=2a^3+a\) ・・・①
\(a=0\) のときの法線は \(x=0\) となるが，これは①において \(a=0\) を代入したときと一致．
よって求める法線の方程式は，\(x+2ay=2a^3+a\)
(２) \(Q\) の座標を \(a\) を用いて表せ．
(１)の結果から，点 \(A\)，\(B\) における法線の方程式はそれぞれ
\(x+2ay=2a^3+a\)，\(x+2by=2b^3+b\)
この \(2\) つの法線の交点 \(P\) の座標は，
\(P\left(-2ab(a+b),a^2+b^2+ab+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
ここで，点 \(B\) を点 \(A\) に限りなく近づけたとき
\(\displaystyle\lim_{b\rightarrow a} \left\{-2ab(a+b)\right\}=-4a^3\)
\(\displaystyle\lim_{b\rightarrow a} \left(a^2+b^2+ab+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}\) より
\(Q\left(-4a^3,3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
(３) \(a\) が \(-1≦a≦1\) のとき，点 \(Q\) が描く曲線の長さ
媒介変数された曲線の長さ
曲線 \(x=f(t)\) , \(y=g(t)\) ( \(\alpha≦t≦\beta\) ) の長さ \(L\) は
\(L=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2} dt=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\left\{f^{\prime}(t)\right\}^2+\left\{g^{\prime}(t)\right\}^2} dt\)
\(x=-4a^3\)，\(y=3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}\) より
\(x^{\prime}=-12a^2\)，\(y^{\prime}=6a\) なので
求める曲線の長さは
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}\sqrt{(-12a^2)^2+(6a)^2} da\)
\(=12\displaystyle\int^{1}_{0}a\sqrt{4a^2+1} da\)
偶関数である性質を利用したよ！
\(=12\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{1}{8}(4a^2+1)^{\prime}\sqrt{4a^2+1} da\)
\(=\Bigl[(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}\Bigr]^{1}_{0}\)
\(=5\sqrt{5}-1\)
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