【2023慶応義塾大学・看護医療・(誘導なしに変更)】
次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) がある．
\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\sqrt{a^2_{n}+1}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )
一般項 \(a_{n}\) を求めよ．
考え方・方針
【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ｜数学B数列
等差・等比・階差・隣接二項間特性方程式の基礎基本から、分数・三項間・和と一般項・数学的帰納法型など，有名頻出重要パターンの解法のまとめ。漸化式は完全暗記であるため、しっかりと解法をマスターしよう！数学B：数列(漸化式)。２次試験・共通テスト(センター試験)・定期考査対策。
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2022.05.13
今回はパターン13のタイプですね！
そうですね！
まずは \(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(\cdots\) を求めて，一般項を推定してみましょう！
もちろん数学的帰納法を用いて証明することを忘れずに！
解答・解説
\(n=1\) のとき
\(a_{2}=\sqrt{a^2_{1}+1}=\sqrt{2}\)
\(n=2\) のとき
\(a_{3}=\sqrt{a^2_{2}+1}=\sqrt{3}\)
\(n=3\) のとき
\(a_{4}=\sqrt{a^2_{3}+1}=\sqrt{4}(=2)\) より
一般項 \(a_{n}\) は \(a_{n}=\sqrt{n}\) と推定することができる．
\(a_{n}=\sqrt{n}\) ・・・①が成り立つことを数学的帰納法で示す．
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}=\sqrt{1}=1\) となり成立
( ⅱ ) \(n=k\) のとき①が成立すると仮定する．
つまり \(a_{k}=\sqrt{k}\) ・・・② と仮定する．
\(a_{k+1}=\sqrt{a_{k}+1}\) ，②より
\(a_{k+1}=\sqrt{k+1}\)
よって \(n=k+1\) のとき成立
( ⅰ )，( ⅱ )より①はすべての自然数 \(n\) に対して成立
したがって，\(a_{n}=\sqrt{n}\)
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