【2023北海道大学(後期)第３問】素数pについて、XとYの積が2pで割り切れる確率

解答・解説

(１)　\(X\) と \(Y\) の積が \(p\) で割り切れる確率を求めよ．

余事象を考えると，

\(X\) と \(Y\) の積が \(p\) で割り切れない

つまり，「\(X\) が \(p\) で割り切れない」かつ「\(Y\) が \(p\) で割り切れない」

\(X\) が \(p\) で割り切れないのは，\(p\) 以外の \(p-1\) 枚

\(Y\) が \(p\) で割り切れないのは，\(p\)，\(2p\)，\(3p\)，\(4p\) 以外の \(4p-4\) 枚

よって \(X\) と \(Y\) の積が \(p\) で割り切れない確率は

\(\displaystyle\frac{p-1}{p}\times \displaystyle\frac{4p-4}{4p}=\left(\displaystyle\frac{p-1}{p}\right)^2\)

したがって求める確率は，\(1-\left(\displaystyle\frac{p-1}{p}\right)^2=\displaystyle\frac{2p-1}{p^2}\)

(２)　\(X\) と \(Y\) の積が \(2p\) で割り切れる確率を求めよ．

\(X\) と \(Y\) の積が \(2p\) で割り切れるのは

( ⅰ )　\(X=p\) のとき

\(Y\) は偶数となればよいので，

\(\displaystyle\frac{1}{p}\times \displaystyle\frac{2p}{4p}=\displaystyle\frac{2p}{4p^2}\)

( ⅱ )　\(X\) が偶数のとき

\(Y\) は \(p\) の倍数，つまり \(Y=p,2p,3p,4p\) のいずれかとなればよいので，

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p-1}{2}}{p}\times \displaystyle\frac{4}{4p}=\displaystyle\frac{2p-2}{4p^2}\)

( ⅲ )　\(X\) が \(p\) 以外の奇数のとき

\(Y=2p,4p\) のいずれか

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{p-1}{2}}{p}\times \displaystyle\frac{2}{4p}=\displaystyle\frac{p-1}{4p^2}\)

( ⅰ )〜( ⅲ )より

\(\displaystyle\frac{2p}{4p^2}+\displaystyle\frac{2p-2}{4p^2}+\displaystyle\frac{p-1}{4p^2}=\displaystyle\frac{5p-3}{4p^2}\)