【2002神戸大学】x^2+y^2+ax+by+3c=0が円を表すサイコロの目a,b,cの確率

【2002神戸大学・文系・第３問】

次の問に答えよ．

(１)　方程式

$x^2+y^2+ax+by+3c=0$

が円を表すための $a$ , $b$ , $c$ の条件を求めよ．

(２)　一つのサイコロを $2$ 回振って出た目の数を，順に $a$ , $b$ とする． $c=1$ とするとき， $a$ , $b$ の組が (１) の条件をみたす場合の数は何通りあるか．

(３)　一つのサイコロを $3$ 回振って出た目の数を，順に $a$ , $b$ , $c$ とする． $a$ , $b$ , $c$ が (１) の条件をみたす確率を求めよ．

解答・解説

$x^2+y^2+ax+by+3c=0$ より

$\left(x+\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2+b^2-12c}{4}$

これが円を表すための条件は，

$\displaystyle\frac{a^2+b^2-12c}{4}>0$

よって， $a^2+b^2>12c$

$c=1$ のとき，(１)より

$a$ , $b$ のそれぞれのサイコロの目に対して， $a^2+b^2$ の値は次の表のようになる．

よって条件を満たす $a$ , $b$ の組は， $30$ 通り

( Ⅰ )　 $c=1$ のとき

(２)より $a$ , $b$ の組は $30$ 通り

( Ⅱ )　 $c=2$ のとき

条件は $a^2+b^2>24$ であり，(２) の表より

$a$ , $b$ の組は $23$ 通り

( Ⅲ )　 $c=3$ のとき

条件は $a^2+b^2>36$ であり，(２) の表より

$a$ , $b$ の組は $14$ 通り

( Ⅳ )　 $c=4$ のとき

条件は $a^2+b^2>48$ であり，(２) の表より

$a$ , $b$ の組は $6$ 通り

( Ⅴ )　 $c=5$ のとき

条件は $a^2+b^2>60$ であり，(２) の表より

$a$ , $b$ の組は $3$ 通り

( Ⅵ )　 $c=6$ のとき

条件は $a^2+b^2>72$ であり，(２) の表より

$a$ , $b$ の組は $0$ 通り

以上から，条件を満たす $a$ , $b$ , $c$ の組は

$30+23+14+6+3+0=76$ 通り

したがって求める確率は， $\displaystyle\frac{76}{6^3}=\displaystyle\frac{19}{54}$