【2021札幌医科大】直円錐の側面積の最小値｜数学Ⅲ：微積

【2021札幌医科大】

体積が $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$ の直円錐において，直円錐の側面積の最小値を求めよ．ただし直円錐とは，底面の円の中心と頂点とを結ぶ直線が，底面に垂直である円錐のことである．

解答・解説

直円錐の底面の円の半径を $r$ ，高さを $h$ ，母線の長さを $l$ とおくと，

$l=\sqrt{r^2+h^2}$ ， $r>0$ ， $h>0$ ・・・①

体積が $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$ であるから，

$\displaystyle\frac{1}{3}\pi hr^2=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

よって， $h=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{r^2}$ ・・・②

また，この直円錐の側面は右図のように扇形となるので，その面積を $S$ とすると，

$S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot l \cdot 2\pi r=\pi lr$ より

①，②の結果から

$S=\pi r\sqrt{r^2+\displaystyle\frac{2}{r^4}}=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}$

$S$ の最小値については，２通りの解法を紹介します！

いずれも使えるように！！

$S=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}$

$r$ の関数として微分してもOKですが，計算を楽にするために，置き換えをしましょう！その際に範囲の確認をお忘れなく！！

$x=r^2$ とおく ( $x>0$ )

$S=\pi\sqrt{x^2+\displaystyle\frac{2}{x}}$

ここで， $f(x)=x^2+\displaystyle\frac{2}{x}$ とおく．

$f^{\prime}(x)=2x-\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$

$f^{\prime}(x)=0$ のとき $x=1$

したがって， $f(x)$ は $x=1$ で最小値 $3$ をとる．

よって，直円錐の側面積 $S$ の最小値は $\sqrt{3}\pi$

$3$ つの相加平均・相乗平均の関係

$a≧0$ 、 $b≧0$ 、 $c≧0$ のとき

$\displaystyle\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}$

等号成立は $a=b=c$ のとき

$S=\pi\sqrt{r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}}=r^4+\displaystyle\frac{1}{r^2}+\displaystyle\frac{1}{r^2}$

$r>0$ より相加平均・相乗平均の関係から，

$r^4+\displaystyle\frac{1}{r^2}+\displaystyle\frac{1}{r^2}≧3\sqrt[3]{r^4\times \displaystyle\frac{1}{r^2}\times \displaystyle\frac{1}{r^2}}=3$

(等号成立は $r=1$ のとき )

よって $r^4+\displaystyle\frac{2}{r^2}$ は最小値 $3$ をとるので，

したがって，求める $S$ の最小値は $\sqrt{3}\pi$