【2022山口大学】aのb乗=bのa乗(a^b=b^a)を満たす正の整数(a≠b)

【2013一橋大学・後期】eのπ乗とπのe乗の大小比較

e^πとπ^eの大小について、logx/xのグラフを利用することで考える。頻出・有名入試問題。差がつく良問ですので、流れを一度経験し、類題に対応できるように対策をしておきましょう！ 2013一橋大学・後期。２次試験過去問対策。数学Ⅲ：微分

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2022.10.03

解答・解説

(１) \(x>0\) のとき，\(f(x)=\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\) の最大値

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) ( \(x>0\) )

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\) より

\(f^{\prime}(x)=0\) とすると

\(\log x=1\) \(\iff\) \(x=e\)

よって，\(y=f(x)\) は \(x>0\) において

\(x=e\) のとき，最大値 \(\displaystyle\frac{1}{e}\)

(２) \(a^b=b^a\) かつ \(a\not=b\) を満たす正の整数の組 \((a,b)\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=-\infty \) ，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 \) より，関数 \(y=f(x)\) のグラフの概形は右図(黒線部分)のようになる．

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 \) については頻出の極限問題！証明とセットで覚えておきましょう！証明等については，⏬(下の記事)を参考に！

x→∞のときlogx/xの極限についての証明

x>1のとき0<logx<√xの不等式評価の証明と、頻出・重要問題のlogx/xの極限値について。グラフの図示や極限、不等式の証明など利用する場面は多々。数学Ⅲ：対数の極限

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2023.01.22

\(a^b=b^a\) の両辺に自然対数をとると

\(\log{a^b}=\log{a^b}\)

\(\iff\) \(b\log{a}=a\log{b}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{\log{a}}{a}=\displaystyle\frac{\log{b}}{b}\)

よって \(f(a)=f(b)\)

\(b>a>0\) とすると，右上図(赤線部分)に注目すると，

\(1<a<e\) となり，これを満たす正の整数 \(a=2\) のみ

このとき，

\(f(2)=\displaystyle\frac{\log2}{2}=\displaystyle\frac{2\log2}{4}=\displaystyle\frac{\log4}{4}=f(4)\) であるから，

題意を満たす正の整数の組 \((a,b)=(2,4)\)

\(a>b>0\) のときも同様に考え，\((a,b)=(4,2)\)

したがって，\((a,b)=(2,4),(4,2)\)