【2023北海道大学・文系・第１問】因数定理、係数決定

解答・解説

(１)　\(P(0)=0\) または \(P(0)=1\) であることを示せ．

\(P(x)P(-x)=P(x^2)\) ・・・① とする．

①に \(x=0\) を代入すると

\(P(0)\cdot P(0)=P(0)\)

\(P(0)\left\{P(0)-1\right\}=0\)

よって，\(P(0)=0\) または \(P(0)=1\)

(２)　\(P(x)\) が \(x-1\) で割り切れないならば，\(P(x)-1\) は \(x+1\) で割り切れることを示せ．

\(P(x)\) が \(x-1\) で割り切れないとき，\(P(1)\not=0\) となる．

①に \(x=1\) を代入すると

\(P(1)\cdot P(-1)=P(1)\)

\(P(1)\not=0\) より両辺を \(P(1)\) で割ると

\(P(-1)=1\) \(\iff\) \(P(-1)-1=0\)

したがって，\(P(x)-1\) は \(x+1\) で割り切れる．

(３)　次数が \(2\) である \(P(x)\) をすべて求めよ

次数が \(2\) である \(P(x)\) を

\(P(x)=ax^2+bx+c\) ( \(a\not=0\) ) とおく．

①より

\((ax^2+bx+c)(ax^2-bx+c)=ax^4+bx^2+c\)

\(a^2x^4+(2ac-b^2)x^2+c^2=ax^4+bx^2+c\)

\(x\) についての恒等式であるから係数を比較すると

\(\begin{cases}a^2=a ・・・②\\2ac-b^2=b ・・・③\\c^2=c ・・・④\end{cases}\)

②より \(a(a-1)=0\)

\(a\not=0\) なので \(a=1\)

④より \(c(c-1)=0\)

よって \(c=0,1\)

( ⅰ )　\(a=1\)，\(c=0\) のとき

③より \(-b^2=b\) \(\iff\) \(b(b+1)=0\)

よって \(b=0,-1\)

( ⅱ )　\(a=1\)，\(c=1\) のとき

③より \(2-b^2=b\) \(\iff\) \((b+2)(b-1)=0\)

よって \(b=-2,1\)

したがって，求める \(P(x)\) は

\(P(x)=x^2\)，\(x^2-x\)，\(x^2-2x+1\)，\(x^2+x+1\)