2021 岡山大学・文理共通問題【第３問】
次の問いに答えよ．
(1) \(n\) が整数のとき、\(n\) を \(6\) で割ったときの余りと \(n^3\) を \(6\) で割ったときの余りは等しいことを示せ．
(2) 整数 \(a , b , c\) が条件
\(a^3+b^3+c^3=(c+1)^3\) ・・・(※)
を満たすとき、\(a+b\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ．
(3) \(1≦a≦b≦c≦10\) を満たす整数の組 \(( a , b , c )\) で、(2)の条件(※)を満たすものをすべて求めよ．
（１）考え方・解答
考え方
\(6\) で割ったときの余り
→\(mod 6\) で考える
合同式は整数問題を扱う上でとても重要なツール！
不安がある方、知らない方は
を参考に合同式について勉強しましょう！
（１）解答
(1) 以下、法を \(6\) として考える
(ⅰ) \(n≡0\) のとき、\(n^3≡0\) より成立
(ⅱ) \(n≡1\) のとき、\(n^3≡1\) より成立
(ⅲ) \(n≡2\) のとき、\(n^3≡8≡2\) より成立
(ⅳ) \(n≡3\) のとき、\(n^3≡27≡3\) より成立
(ⅴ) \(n≡4\) のとき、\(n^3≡64≡4\) より成立
(ⅵ) \(n≡5\) のとき、\(n^3≡125≡5\) より成立
以上より題意は示された．
（２）考え方・解答
考え方
(1)の結果から、\(k\) を整数とすると、
\(k^3≡k\) ( \(mod 6\) ) が成り立つ．
つまり、\(a+b≡a^3+b^3\) ( \(mod 6\) ) なので、
\( a^3+b^3≡1\) を示せばよい．
（２）解答
(2) 整数 \(a , b , c\) が条件
\(a^3+b^3+c^3=(c+1)^3\) ・・・(※)
を満たすとき、\(a+b\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ．
(2) 以下、法を \(6\) として考える
(※)より
\(a^3+b^3=(c+1)^3-c^3=3c^2+3c+1\) ・・・ ①
\(3c^2+3c=3c(c+1)\) で、\(c(c+1)\) は連続する \(2\) つの整数の積であるから、\(2\) の倍数．
つまり、\(3c(c+1)≡0\)
①より、\(a^3+b^3≡1\) ・・・ ②
また、(1)の結果より、\(a^3≡a\)、\(b^3≡b\) であるから
\(a^3+b^3≡a+b\) ・・・ ③
②、③より、
\(a^3+b^3≡1\)
以上より、題意は示された．
（３）解答
(3) \(1≦a≦b≦c≦10\) のとき、\(2≦a+b≦20\) であり、
また、(2)の結果から \(a+b≡1\) \(( mod 6 )\) なので、
\(a+b= 7 , 13 , 19\)
(ⅰ) \(a+b=7\) のとき
\(1≦a≦b≦10\) を満たす \(( a , b )=( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 )\)
・\(( a , b )=( 1 , 6 ) \) のとき
(※)より、\(1^3+6^3+c^3=(c+1)^3\)
\(c^2+c-72=0\)
\(b=6≦c≦10\) より、\(c=8\)
・\(( a , b )=( 2 , 5 ) \) のとき
(※)より、\(2^3+5^3+c^3=(c+1)^3\)
\(c^2+c-44=0\)
\(b=5≦c≦10\) を満たす整数 \(c\) は存在しない
・\(( a , b )=( 3 , 4 )\) のとき
(※)より、\(3^3+4^3+c^3=(c+1)^3\)
\(c^2+c-30=0\)
\(b=4≦c≦10\) より、\(c=5\)
(ⅱ) \(a+b=13 , 19\) のときも(ⅰ)と同様にそれぞれ調べていくと、題意を満たす整数 \(c\) は存在しない．
以上より、\(( a , b , c )=( 1 , 6 , 8 ) , ( 3 , 4 , 5 )\)
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