【2022数学ⅠA】第５問(図形の性質)
(１)問題と解答・解説《ア〜ケ》
解答・解説《ア〜ケ》
点 \(G\) は \(\triangle ABC\) の重心より，
\(AG:GE=2:1\) であり，
点 \(D\) が \(AG\) の中点のとき
\(AD=DG=GE\) となる．
よって，\(\displaystyle\frac{AD}{DE}=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《アイ》
\(\triangle ABE\) と直線 \(PD\) に関してメネラウスの定理より
\(\displaystyle\frac{BP}{PA}\cdot\displaystyle\frac{AD}{DE}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FB}=1\)
\(\displaystyle\frac{BP}{PA}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FB}=1\)
よって，\(\displaystyle\frac{BP}{AP}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) ・・・《ウ〜オ》
\(\triangle AEC\) と直線 \(DQ\) に関してメネラウスの定理より
\(\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{AD}{DE}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FC}=1\)
\(\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FC}=1\)
よって，\(\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=2\times \displaystyle\frac{CF}{EF}\) ・・・《カ〜ク》
\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}+2\times \displaystyle\frac{CF}{EF}=2\times \displaystyle\frac{BF+CF}{EF}\)
点 \(E\) は辺 \(BC\) の中点なので，\(BF+CF=2EF\) であるから
\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\)\(4\) ・・・《ケ》
(２)問題と解答・解説《コ〜ナ》
解答・解説《コ〜ナ》
方べきの定理より
\(AP\cdot AB=AQ\cdot AC\) であるから
\(9AP=6AQ\)
よって，\(AQ=\displaystyle\frac{3}{2}AP\) ・・・《コサ》
\(AP=2x\) とおくと，\(AQ=3x\) であり，(１)の結果から
\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=4\) なので
\(\displaystyle\frac{9-2x}{2x}+\displaystyle\frac{6-3x}{3x}=4\)
これを解くと，\(x=\displaystyle\frac{13}{12}\)
よって，\(AP=2x=\)\(\displaystyle\frac{13}{6}\) ・・・《シ〜セ》
\(AQ=3x=\)\(\displaystyle\frac{13}{4}\) ・・・《ソ〜チ》
(１)の \(\displaystyle\frac{BP}{AP}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) より
\(\displaystyle\frac{9-\frac{13}{6}}{\frac{13}{6}}=2\times \displaystyle\frac{8+CF}{4+CF}\)
これを解くと，\(CF=\displaystyle\frac{44}{15}\) ・・・《ツ〜ナ》
(３)問題と解答・解説《二〜ヌ》
解答・解説《二〜ヌ》
\(\displaystyle\frac{AD}{DE}=k\) とおく．
(１)と同様に考え
\(\displaystyle\frac{BP}{AP}=\displaystyle\frac{1}{k}\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) ,
\(\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\displaystyle\frac{1}{k}\times \displaystyle\frac{CF}{EF}\)
であり，
\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\displaystyle\frac{1}{k}\displaystyle\frac{BF+CF}{EF}=\displaystyle\frac{2}{k}\)
よって，\(\displaystyle\frac{2}{k}=10\) \(\iff\) \(k=\displaystyle\frac{1}{5}\)
したがって，\(AD:DG:GE=1:3:2\) であるから，
\(\displaystyle\frac{AD}{DG}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・《二ヌ》
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