【2020奈良県立医科大学・医学部】連続関数f(x)において成立する関係について

【2020奈良県立医科大学・医・第５問】

実数全体で定義された連続関数 \(f(x)\) が以下の \(2\) 条件をみたしているとする．

・条件( ⅰ )：任意の \(x\) に対して \(f(x)≧0\)

・条件( ⅱ )：任意の \(x\not=0\) と任意の \(\alpha>1\) に対して \(f(\alpha x)>\alpha f(x)\)

(１) 条件( ⅱ )を用いて，任意の \(\beta\) ( \(0<\beta<1\) ) に対して \(\beta f(1)>f(\beta)\) となることを示せ．

(２) \(f(0)\) の値を求めよ．

(３) \(x>y>0\) に対し \(f(x)>f(y)\) が成り立つことを示せ．

解答・解説

\(\beta\) を \(0<\beta<1\) をみたす任意の実数とする．

このとき \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{\beta}\) とすると \(\alpha>1\)

\(x\not=0\) のとき条件( ⅱ )より

\(f\left(\displaystyle\frac{x}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(x)\)

さらに，\(\beta\not=0\) より \(x=\beta\) とすると

\(f\left(\displaystyle\frac{\beta}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(\beta)\)

\(\iff\) \(\beta f(1)>f(\beta)\) ( ∵ \(\beta>0\) )

よって題意は示された．

\(f(x)\) は実数全体で定義された連続関数であるから，

\(f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)\) となる．

(１)の結果と条件( ⅰ )より

\(0≦f(\beta)<\beta f(1)\)

よって，

\(0≦\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)<\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}\beta f(1)=0\)

はさみうちの原理から

\(f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)=0\)

したがって，\(f(0)=0\)

\(x>y>0\) より

\(\displaystyle\frac{x}{y}>1\) かつ \(y\not=0\)

よって条件( ⅱ )より

\(f(x)=f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\cdot y\right)>\displaystyle\frac{x}{y}f(y)>f(y)\)

したがって，\(f(x)>f(y)\) が成り立つ．