【2023慶応義塾大学・薬学部】因数分解と整数問題

【2023慶応義塾大学・薬学部・第１問(１)】

整式 \(X=6a^3bc+11a^2b^2c+3ab^3c\) がある．

( ⅰ )　\(X\) を因数分解すると，\(X=\) [　ア　] である．

( ⅱ )　\(X=6270\) を満たす \((a,b,c)\) の組をすべて求めると，\((a,b,c)=\) [　イ　] である．

ただし， \(a\) , \(b\) , \(c\) はそれぞれ \(2\) 以上の整数とする．

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

\(X=6a^3bc+11a^2b^2c+3ab^3c\)

\(=abc(6a^2+11ab+3b^2)\)

\(=abc(3a+b)(2a+3b)\) ・・・［ア］

\(X=6270=2\times 3\times 5\times 11\times 19\)

\(a≧2\)，\(b≧2\)，\(c≧2\) より

\(3a+b≧8\)，\(2a+3b≧10\) なので

\(\left\{a,b,c\right\}=\left\{2,3,5\right\}\) ，\(\left\{3a+b,2a+3b\right\}=\left\{11,19\right\}\)

\(\begin{cases}3a+b=11\\2a+3b=19 \end{cases}\) のとき \((a,b)=(2,5)\)

\(\begin{cases}3a+b=19\\2a+3b=11 \end{cases}\) のとき \((a,b)=\left(\displaystyle\frac{46}{7},-\displaystyle\frac{5}{7}\right)\) となり不適

したがって，\((a,b,c)=(2,5,3)\) ・・・［ア］