【2023琉球大学・理系(第4問)】
1 個のさいころを 6 の目が 2 回出るまで投げ続ける．k=1,2,3,\cdots に対して p_{k} を k+1 回目に 2 回目の 6 の目が出る確率とするとき，次の問いに答えよ．
問1 p_{k} を求めよ．
問2 p_{k} を最大にする k の値を求めよ．
問3 S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{p_{k}} を求めよ．
解答・解説
問1 p_{k} を求めよ．
k+1 回目に 2 回目の 6 の目が出るのは，k 回目までに 6 の目が出て，k+1 回目に 6 の目が出るときである．
よって，p_{k}=_{k}C_{1}\displaystyle\frac{1}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1}\times\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{k\cdot 5^{k-1}}{6^{k+1}}
問2 p_{k} を最大にする k の値を求めよ．
【数学A】確率Pnの最大値の求め方・考え方（2018関西学院大学）
問1の結果を利用すると
\displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}=\displaystyle\frac{(k+1)\cdot 5^{k}}{6^{k+2}}\times\displaystyle\frac{6^{k+1}}{k\cdot 5^{k-1}}=\displaystyle\frac{5(k+1)}{6k}
( ⅰ ) \displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}>1
\iff \displaystyle\frac{5(k+1)}{6k}>1 \iff k<5 のとき
p_{1}<p_{2}<p_{3}<p_{4}<p_{5} ・・・①
( ⅱ ) \displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}=1
\iff k=5 のとき
p_{5}=p_{6} ・・・②
( ⅲ ) \displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}<1
\iff k>5 のとき
p_{6}>p_{7}>p_{8}>p_{9}>\cdots ・・・③
①～③より
k=5,6 のとき p_{k} は最大となる．
問3 S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{p_{k}} を求めよ．
等差数列 \times 等比数列の総和(Σ)
⇒ 公比をかけて，差をとる．
S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\displaystyle\frac{k\cdot 5^{k-1}}{6^{k+1}}=\displaystyle\frac{1}{36}\sum_{k=1}^nk\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1}
ここで，T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1} とおく\left(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{36}T_{n}\right)
T_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1} ・・・①
\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=1\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+2\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n} ・・・②
①－②より
\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}=1+\displaystyle\frac{5}{6}+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n
=\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n}{1-\displaystyle\frac{5}{6}}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n
=6\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\right\}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n
よって， S_{n}=\displaystyle\frac{1}{36}T_{n}=1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n-\displaystyle\frac{n}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n
したがって，S_{n}=1-\displaystyle\frac{n+6}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n
コメント