相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（基本）

はじめに

今回のテーマである「相加平均・相乗平均の関係」は受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです．そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません．

「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります．

考え方、使うタイミングについて下記にまとめていますので、基本的な例題を用いて、しっかりと使いこなせるように！

使い方をしっかりとマスターした上で、【入試問題】にチャレンジしましょう！

【入試問題】の考え方・解答は

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）

相加平均・相乗平均の関係(証明)

《証明》

(左辺)－(右辺)

$=A+B-2\sqrt{AB}$

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})^2≧0$

よって(左辺)≧(右辺)

等号成立は、

$(\sqrt{A}-\sqrt{B})^2=0$

つまり $A=B$ のとき

相加平均・相乗平均を使うタイミング

※相加平均・相乗平均の関係は 0 以上の数でしか使用できないため、「0 以上の数になるための条件」が必ず存在する

※相加平均・相乗平均の関係を使用した場合、必ず等号成立を確認するように！

☞なぜに等号成立を言う必要があるのか？

少し難しい内容になりますが、数学的に非常に重要なお話しになります。

「最大値とは？等号成立の必要性について」に簡単にまとめていますので、確認を！

和と積の形を見たら

※範囲(最大値や最小値を含む)に関する問題の時は、相加平均・相乗平均の関係を使うことが多い．

考え方・解答

(1)の考え方・解答

$x+\displaystyle\frac{4}{x}$ の式を見て、「逆数の和の形」が見えて欲しい．

(※正確には $x$ の逆数は $\displaystyle\frac{1}{x}$ であるが、その辺はざっくりとで)

また、$x>0$ という情報から、相加平均・相乗平均の関係を使用するのではないかと疑って欲しい．

$x>0$ より相加平均・相乗平均の関係から

$x+\displaystyle\frac{4}{x}≧2\sqrt{x\times \displaystyle\frac{4}{x}}=4$

等号成立は、

$x=\displaystyle\frac{4}{x}$

$x^2=4$

$x>0$ より

$x=2$ のとき、最小値は 4

(2)考え方・解答

$t=2^x+2^{-x}$ より

$t=2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}$

まさに逆数の和の形！！

また、$2^x>0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係を使用するための条件がそろっている

$2^x>0$ より相加平均・相乗平均の関係から

$2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}≧2\sqrt{2^x\times \displaystyle\frac{1}{2^x}}=2$

よって、$t≧2$

等号成立は、

$2^x=\displaystyle\frac{1}{2^x}$

$(2^x)^2=1$

$2^x>0$ より $2^x=1$

つまり $x=0$ のとき

※(2)は指数関数の分野で超有名問題．

極端かもしれませんが、結果を覚えておいても良いレベルで有名問題ですので、しっかりとできるように！

(3)考え方・解答

$a­≠0$、$ab=12$ より、$b=\displaystyle\frac{12}{a}$ より

$a+b=a+\displaystyle\frac{9}{a}$ と考え、

逆数の和の形であるから、(1)と同様に考えていくと言う解法でも悪くはない．

しかし、より発展的な問題に対応していくために、以下のように問題が見えるようになって欲しい！

$ab=9$ という情報から「積の形」

$a+b$ という形から「和の形」

☞「和と積の形」であるので、相加平均・相乗平均の関係を疑う．

※このような視点を持つことで、結果的に相加平均・相乗平均の関係を使わない問題であったとしても、「対称式」や「解と係数の関係」で処理できないかと、次の考え方に繋がる．

$a>0 , b>0$ より相加平均・相乗平均の関係から

$a+b≧2\sqrt{ab}=2\sqrt{9}=6$

等号成立は

$a=b$ かつ $ab=9$ より

$a=b=3$ のとき、最小値は 6

最後に

ただ解けたからOKではなく、「逆数の和の形」や「和と積の形」、そして「0以上の条件」や「最小値など範囲に関する問題」に注目して相加平均・相乗平均の関係が使えるようになりましょう！

それでは基本編がしっかりとできた方は、【入試問題】にチャレンジ！

考え方・解答は

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）