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相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

数学(大学入試問題)

【入試問題】

(1) \(x>-2\) のとき

\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ.

(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする.\(DE\) の長さの最小値を求めよ.

はじめに

今回のテーマである「相加平均・相乗平均の関係」受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです.そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません

「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります.

基本的な問題で相加平均・相乗平均の確認をしたい場合は、

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

を確認してください.

相加平均・相乗平均の関係

【相加平均・相乗平均の関係】

\(A≧0 , B≧0\) のとき

\(A+B≧2\sqrt{AB}\)

等号成立は、\(A=B\) のとき

相加平均・相乗平均を使うタイミング

次の2つの形を見たら相加平均・相乗平均の関係を疑え!

1.逆数の和の形

👉 ルートの中で約分され、文字が消える!

2.和と積の形

👉\(和≧2\sqrt{積}\)

※相加平均・相乗平均の関係は 0 以上の数でしか使用できないため、「0 以上の数になるための条件」が必ず存在する

※相加平均・相乗平均の関係を使用した場合、必ず等号成立を確認するように!

☞なぜに等号成立を言う必要があるのか?

少し難しい内容になりますが、数学的に非常に重要なお話しになります。

最大値とは?等号成立の必要性について」に簡単にまとめていますので、確認を!

和と積の形を見たら

和と積の形を見たら、次の3つを疑え!

  1. 対称式
  2. 解と係数の関係
  3. 相加平均・相乗平均の関係

※範囲(最大値や最小値を含む)に関する問題の時は、相加平均・相乗平均の関係を使うことが多い.


(1)考え方・解答

(1) \(x>-2\) のとき

\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ.

(分母の次数)≦(分子の次数)

👉 割り算(次数下げ)

※このPointは、分数関数を扱う際によくやる手段です!

\(x^2+3x+3=(x+1)(x+2)+1\) より

\(\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}=\displaystyle\frac{(x+1)(x+2)+1}{x+2}\)

よって

\(y=x+1+\displaystyle\frac{1}{x+2}\) ・・・①

理想!!

\(y=x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\)

または

\(y=x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\)

だったら「逆数の和の形」になるため、

相加平均・相乗平均の関係が使用できる.

①を前者の形に変形することは・・・

ただ①を後者の形に変形しようと思えば、

\(y=(x+2)+\displaystyle\frac{1}{x+2}-1\)

と理想的な形と現実のギャップを埋めるための調整を行った!

 

\(x>-2\) より \(x+2>0\) なので、相加平均・相乗平均の関係から

\((x+2)+\displaystyle\frac{1}{x+2}≧2\sqrt{(x+2)\times \displaystyle\frac{1}{x+2}}=2\)

両辺から 1 を引くと、

\(y≧1\)

等号成立は、

\((x+2)=\displaystyle\frac{1}{x+2}\)

\((x+2)^2=1\)

\(x+2>0\) より

\(x+2=1\)

\(x=-1\) のとき、\(y\) の最小値は 1

(2)考え方・解答

(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする.\(DE\) の長さの最小値を求めよ.

\(AD=x , AE=y\) とおく.(\(0<x<6 , 0<y<7\))

\(△ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\times 6\times 7 \times sinA=21sinA\)

\(△ADE=\displaystyle\frac{1}{2}xysinA\) であり、

\(△ADE=\displaystyle\frac{1}{3}△ABC \) より

\(xy=14\) ・・・①

 

\(△ABC\) で余弦定理より、

\(cosA=\displaystyle\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot 6\cdot 7}=\displaystyle\frac{5}{7}\) ・・・②

また、\(△ADE\) で余弦定理より、

\(DE^2=x^2+y^2-2xycosA\)

①、②より

\(DE^2=x^2+y^2-20\) ・・・③

① ☞ 積の形

③ ☞ \(x^2+y^2\) 和の形

があり、さらに最小値を問われていることから、

相加平均・相乗平均の関係を疑う!

\(x>0 , y>0\) より相加平均・相乗平均の関係から、

\(x^2+y^2≧2\sqrt{x^2y^2}=2xy=28\)

\(x^2+y^2-20≧28-20=8\)

\(DE^2≧8\)

\(DE≧2\sqrt{2}\)

等号成立は、

\(x^2=y^2\) かつ ① より

\(x=y=\sqrt{14}\) のとき、\(DE\) の最小値は\(2\sqrt{2}\)

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