微分・積分(数学Ⅲ)

数学Ⅲの微分・積分の入試問題

2022年入試問題

【2022大阪公立大学・理(第1問)】log(1+x)の不等式評価、はさみうちの原理、極限、積分

対数の不等式による評価、証明。その結果を利用し、はさみうちの原理から極限を求める。2022大阪公立大学・理系・第1問。過去問演習、対策。
2022年入試問題

【2022お茶の水女子大学】外部の点から引く接線の本数(数学Ⅲ)

(2,a)からy=sinxに引ける接線の本数が3本となるaの条件。接線何本引けるかの頻出・有名・重要問題。2022御茶ノ水女子大(理学・第1問)過去問演習・対策。数学Ⅲ:微分
2021年入試問題

【2021札幌医科大】直円錐の側面積の最小値|数学Ⅲ:微積

体積が一定の直円錐の側面積の最小値。底面の半径をrとしたとき、分数関数の最小値の処理について2通り。解法①数学Ⅲの微分、増減表を利用。解法②3つの相加平均・相乗平均の関係を利用する有名問題。頻出・有名問題。医学部対策。2021札幌医科大学過去問。
東京大学

【2009東京大学[5]】0.9999^(101)<0.99<0.9999^(100)を示せ

1階微分で求めることができないときは2階微分(2回微分、2次導関数)を利用して不等式の証明。その結果を利用して、0.9999^(101)<0.99<0.9999^(100)を示す。頻出重要問題。数学Ⅲ:微分・積分。2009東大・理系・第5問。過去問。
極限

減衰曲線の極値、x=aで極値をもつ(必要条件)、無限等比数列の収束と和

頻出x=aで極値をもつとき、必要条件で考えて十分条件の確認。また減衰曲線の極大値の和は無限等比級数になり、収束条件を配慮した上でその和を求める。重要・有名問題。京都工芸繊維大学・過去問演習・対策。数学Ⅲ:微分、極限;無限級数
旧帝大(東大・京大除く)+3大学(一工神)

【2010神戸大学・理系(数学Ⅲ)】関数が極値をもつ・もたない条件|f'(x)の符号変化に注目!

x=αで極値を持つ条件は、「f'(x)の符号がx=αの前後で変化する」こと(極値の存在条件)。本問では極値をもたない条件であるので、常にf'(x)が0以上または0以下となればよい。 f'(x)を考えることで、定数分離型に帰着。2010神大・過去問演習・対策。数学Ⅲ:微分
2021年入試問題

【2021神戸大学・理(後期)】積分区間に関数を含む定積分、tan置換の分数関数の積分

関数を積分区間に含む定積分の関数の最小値。また積分計算において、分数関数の積分。平方完成を利用し、tanへの置換を行う頻出・重要問題。また計算の工夫として、t=-sと置換することで計算量を減らすことができる。数学Ⅲ:微分・積分。入試問題過去問演習・対策。後期試験。
極限

【2020神戸大学・理系】(1)f(x)=sinx/xが最大となるx(2)lim(n/tanx)|数学Ⅲ:極限、微分

関数f(x)=sinx/xが2nπ≦x≦(2n+1)πで最大となるxの値はただ1つであることを示す証明問題。そのxに対しての極限値。はさみうちの原理。2020神大・過去問演習、対策。
東京大学

【東京大学・理類】漸化式で定められた数列の極限について

一般項が求められない数列の極限値の求め方。不等式を導き、はさみうちの原理fから考える典型・頻出問題。微分による不等式の証明。平均値の定理の利用。東大過去問演習・対策。医学部数学対策。
京都大学

【2013京都大学】2次導関数を利用した最大値、偶関数の利用

微分=0の値が求められないとき、2次導関数を利用した最大・最小値を求める微分の典型・頻出問題。2013京大過去問を用いて演習・対策を解説。また差がつくポイントとして、偶関数、奇関数の活用。数学Ⅲ:微分
微分・積分(数学Ⅲ)

【関数の微分可能性と連続性】「微分可能⇒連続」の逆は偽の判例(具体例)

連続性、微分可能性の定義。また「微分可能ならば連続である」の命題は真であるが、逆命題は偽である。逆の反例について具体的な例題を紹介。入試頻出・重要問題の演習問題。f(x)=xsin(1/x)(x≠0),0(x=0)について。数学Ⅲ:微分
極限

連続関数となる条件|大阪府立大学

関数の連続性とはについて確認。そして大阪府立大学の過去問を用いた例題演習。無限等比数列の極限を利用して関数f(x)を区間分けされた形で表す。x=aで連続であるために、右側極限、左側極限、f(a)が存在、一致すること条件を考える。数学Ⅲ:微分(連続関数)
京都大学

【2012京都大学】部分積分、tanθの置換積分|数学Ⅲ:積分の計算

部分積分と置換積分の教科書レベルの基本的な内容の積分計算。京大2012年度過去問対策。入試演習。数学Ⅲ:積分。2012京都大学・理系・第1問[2]
京都大学

【2011京都大学】置換積分、三角関数の積分(x=asinθ)|数学Ⅲ:積分の計算

根号(ルート)を含む式の置換積分。教科書レベルの基本的な内容の積分計算。京大2011年度過去問対策。入試演習。数学Ⅲ:積分。2011京都大学・理系・第1問[2]
京都大学

【2007京都大学・甲・第6問】回転体の体積|2曲線で囲まれた部分をx軸周りに回転

数学Ⅲの回転体の体積。基本的な問題演習として、京都大学の過去問を用いて演習・解説。2007京大・理系過去問演習・対策。数学Ⅲ積分。
2021年入試問題

【2021早稲田大学・教育】共有点をもつ共通接線(数学Ⅲ)

指数関数と2次関数が共有点をもち、共通接線をもつ。接点のx座標をpとおき、y座標の一致、接線の傾き(x=pにおける微分係数)の一致から考える。数学Ⅲ:微分。頻出・重要問題。
2021年入試問題

【頻出】e^x>1+x+x^2/2、e^x>1+Σx^k/k!の不等式の証明

x>0のとき、(1)e^x>1+x、(2)e^x>1+x+x^2/2、(3)e^x>1+Σx^k/k!の証明。マクローリン展開、テイラー展開の不等式。2021室蘭工大 頻出・有名問題。数学Ⅲ:微分
極限

【2013大阪大学】三角関数の極限x→0のときsinx/x=1、sinxの導関数の証明

三角関数の極限で最も有名な証明問題。扇形、三角形の面積の大小から有名不等式を立式し、はさみうちの原理で示す。またその結果を利用し、sinxの導関数がcosxとなることを示す。教科書に載っている証明であるが、しっかりと経験をしておかないと自力での証明は難しい。差がつく入試問題。2013阪大、理系、第1問。数学III:極限、微分
微分・積分(数学Ⅲ)

【2014大阪大学・理系】区分求積法|1/√nの和の整数部分

グラフを利用して面積の大小から単調な数列の和を定積分で評価する問題。視覚的に考えることで、時間短縮にも! ルートn分の1をnが1から40000までの総和の整数部分。数学III:積分
2021年入試問題

【2021京都大学】平均値の定理|f(a)=af(1)を満たすとき、y=f(x)の接線で原点を通るものが存在

平均値の定理を利用した、存在証明。与えられた関係式から、平均値の定理を利用し、原点を通る直線へと式変形。2021京大・理系。過去問対策、演習。数学Ⅲ
微分・積分(数学Ⅲ)

【2013一橋大学・後期】eのπ乗とπのe乗の大小比較

e^πとπ^eの大小について、logx/xのグラフを利用することで考える。頻出・有名入試問題。差がつく良問ですので、流れを一度経験し、類題に対応できるように対策をしておきましょう! 2013一橋大学・後期。2次試験過去問対策。数学Ⅲ:微分
積分まとめ

バームクーヘン分割|特殊な求積分(数学Ⅲ:回転体の体積)

y軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の有名な求め方。バームクーヘンの1層1層を考え、体積を求める。イラストを用いたイメージを大切にし、公式を覚えよう!例題としてy=sinxを考える。頻出・有名入試問題。数学Ⅲ
京都大学

【2002京都大学】アルキメデスの螺旋|極方程式r=θの曲線の長さ

アルキメデスの螺旋の曲線の長さを求める問題。2002年京大過去問演習・対策。京都大学では、2009、2021年にも曲線の長さが出題されている。極方程式から媒介変数表示にし、積分を利用して求める。頻出・重要問題。
京都大学

【2009京都大学】極方程式、媒介変数、曲線の長さ|r=1+cosθ(0≦θ≦π)

極方程式r=1+cosθの0≦θ≦πの部分の曲線の長さについて。媒介変数表示し、積分を用いて計算(三角関数の積分)。この1問で、三角関数の公式(加法定理、半角、倍角など)、積分、極方程式、媒介変数など様々なことが復習できる良問。2009年京大、理系、過去問演習、対策。
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