【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
12．a_{1}=0 , b_{1}=1
\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン12．連立型
a_{n} , a_{n+1} , b_{n} , b_{n+1} の連立
👉解法２通り
解法① 一方を実数倍し加え，等比数列(パターン2)の形へ
解法② １文字消去⇒隣接三項間特性方程式(パターン8,9)へ
解法①
12．a_{1}=0 , b_{1}=1
\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}
\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}
【考え方】
【解答】
① ＋ ② \times (-2) より
a_{n+1}-2b_{n+1}=2a_{n}-4b_{n}=2(a_{m}-2b_{n}) であるから，
数列 \left\{ a_{n}-2b_{n} \right\} は，初項が a_{1}-2b_{n}=-2 , 公比が 2 の等比数列より
a_{n}-2b_{n}=-2\cdot 2^{n-1} ・・・④
① ＋ ② \times 4 より
a_{n+1}+4b_{n+1}=8a_{n}+32b_{n}=4(a_{m}+4b_{n}) であるから，
数列 \left\{ a_{n}+4b_{n} \right\} は，初項が a_{1}+4b_{n}=4 , 公比が 8 の等比数列より
a_{n}+4b_{n}=4\cdot 8^{n-1} ・・・⑤
④ \times 2 + ⑤ より
3a_{n}=-4\cdot 2^{n-1}+4\cdot 8^{n-1}
したがって，a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}
また，⑤ ー ④ より
6b_{n}=4\cdot 8^{n-1}+2\cdot 2^{n-1}
よって，b_{n}=\displaystyle\frac{2\cdot 8^{n-1}+2^{n-1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-2}+2^{n-1}}{3}
参考
解法②
12．a_{1}=0 , b_{1}=1
\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}
\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}
①より，b_{n}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n}) ・・・③
③より，b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1}) ・・・④
④に②，③を代入すると
\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1})=a_{n}+6\cdot \displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n})
式を整理すると
a_{n+2}-10a_{n+1}+16a_{n}=0 であり，
a_{1}=0 , b_{1}=1 , ①より a_{2}=4a_{1}+8b_{1}=8 となる．
パターン8・9：隣接三項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「【漸化式8,9】隣接三項間特性方程式(2実解，重解型)｜解法パターン｜数学B数列」を確認しよう！
与式は，
a_{n+2}-2a_{n+1}=8(a_{n+1}-2a_{n}) ・・・⑤
a_{n+2}-8a_{n+1}=2(a_{n+1}-8a_{n}) ・・・⑥ と式変形できる．
⑤より数列 \left\{a_{n+1}-2a_{n}\right\} は初項：a_{2}-2a_{1}=8 , 公比：8 の等比数列であるから，
a_{n+1}-2a_{n}=8\cdot 8^{n-1} ・・・⑤ ’
⑥より数列 \left\{a_{n+1}-8a_{n}\right\} は初項：a_{2}-8a_{1}=8 , 公比：2 の等比数列であるから，
a_{n+1}-8a_{n}=8\cdot 2^{n-1} ・・・⑥ ’
⑤ ‘ – ⑥ ‘ より
6a_{n}=8\cdot 8^{n-1}-8\cdot 2^{n-1}
したがって，a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}
これを③に代入することで b_{n} は求められる．
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