【2017東京大学・第４問・文理共通】
\(p=2+\sqrt{5}\) とおき、自然数 \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対して
\(a_{n}=p^n+\left(-\displaystyle\frac{1}{p}\right)^n\)
と定める．以下の問いに答えよ．
(１) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ．
(２) \(n≧2\) とする．積 \(a_{1}a_{n}\) を、\(a_{n+1}\) と \(a_{n-1}\) を用いて表せ．
(３) \(a_{n}\) は自然数であることを示せ．
(４) \(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の最大公約数を求めよ．
教科書には登場しないが、受験数学ではとても有名な問題です。
経験の差が点数の差に直結する、差がつく問題となります。
様々な大学で頻出問題の１つになりますので、しっかりと考え方をマスターしましょう！
考え方・方針の立て方
\(q=-\displaystyle\frac{1}{p}\) とおくと、
\(a_{n}=p^n+q^n\) となり対称式となる．
おえておきたい対称式関係の公式
・\(p^2+q^2=(p+q)^2-2pq\)
・\(p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q)\)
☆\(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\)
特に３つ目の「\(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\)」は、数学的帰納法(2段仮定)とセットで出題されます。
２段仮定の数学的帰納法については下記の記事を確認しましょう！
誘導が丁寧で、２段仮定を経験したことがない人にとっては基本的な問題です。有名問題ですので、しっかりと確認を！
ユークリッド互除法
【ユークリッドの互除法】
\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\) とすると
\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい
解答
(１) \(q=-\displaystyle\frac{1}{p}\) とおくと、
\(a_{n}=p^n+q^n\) ．
\(q=-\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}\) より
\(p+q=4\)、\(pq=-1\)．
\(a_{1}=p+q=4\)
\(a_{2}=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=18\)
(２) \(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\) より
\(a_{n+1}=a_{1}a_{n}+a_{n-1}\) ・・・①
よって、\(a_{1}a_{n}=a_{n+1}-a_{n-1}\)
(３) 数学的帰納法(2段仮定)で考える
(ⅰ) \(n = 1 , 2\) のとき
(１)より、\(a_{1}\)、\(a_{2}\) は自然数である．
(ⅱ) \(2\) 以上の自然数 \(n = k-1 , k\) のとき
\(a_{k-1}\)、\(a_{k}\) が自然数であると仮定する．
(２)の①より、
\(a_{k+1}=a_{1}a_{k}+a_{k-1}\) であるから
\(a_{k+1}\) も自然数である．
(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数に対して \(a_{n}\) は自然数である．
(４) (２)の①より \(a_{n+1}=a_{1}a_{n}+a_{n-1}\) 、
また \(a_{1}=4\) であるから、
\(a_{n+1}=4a_{n}+a_{n-1}\)
ユークリッド互除法より、
「 \(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の最大公約数 」は
「 \(a_{n}\) と \(a_{n-1}\) の最大公約数 」に等しい．
これを繰り返すと、
「 \(a_{n}\) と \(a_{n-1}\) の最大公約数 」は、
「 \(a_{2}\) と \(a_{1}\) の最大公約数 」に等しい．
ゆえに、\(a_{1}=4\)、\(a_{2}=18\) であるから、求める値は、\(2\)
類題：２００３東京大学
【2003東京大学・第４問・文理共通(一部)】
\(2\) 次方程式 \(x^2-4x-1=0\) の \(2\) つの実数解のうち大きいものを \(\alpha\)、小さいものを \(\beta\) とする．
\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対し、\(s_{n}=\alpha^n+\beta^n\) とおく．
(１) \(s_{1}\)、\(s_{2}\)、\(s_{3}\) を求めよ．また、\(n≧3\) に対し、\(s_{n}\) を \(s_{n-1}\) と \(s_{n-2}\) で表せ．
(２) \(\beta^3\) 以下の最大の整数を求めよ．
(３) \(\alpha^{2003}\) 以下の最大の整数の \(1\) の位の数を求めよ．
本問(2003年東京大学)との類題です。演習にどうぞ！
↓ 考え方、解答、解説 ↓
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