【数学A】確率Pnの最大値の求め方・考え方（2018関西学院大学）

【2018 関西学院大学】

サイコロを 2 個同時に 1 回振って、出た目の数の和が 3 または 11 であれば当たりとし、そうでなければハズレとする．この試行を当たりが 3 回となるまで繰り返すとき、ちょうど $n$ 回目で終わる確率を $p(n)$ と表すことにする．

(1)　 $p(3)$ 、 $p(4)$ を求めよ．

(2)　 $n≧3$ に対して、 $\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}$ を $n$ の式で表せ．

(3)　 $p(n)$ が最大となる $n$ の値を求めよ．

はじめに
（１）反復試行の確率
（２）確率の最大値の考え方
最後に

はじめに

大学入試で頻出の「確率の最大」の求め方の考え方について解説していきます。

一般的には誘導なしで問われることが多いため、解法の流れを経験したことがないと少し厳しいです。

2018関西学院大学の問題は、誘導が丁寧についた、演習にはもってこいの問題ですので、この問題を使って解法の流れを身につけましょう！

（１）反復試行の確率

まず初めに、2 個のサイコロを 1 回振って出た目の和が 3 or 11 となるのは

$( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 , 5 )$ の 4 通り

よって $\displaystyle\frac{4}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{9}$

次に、本問では

サイコロを繰り返し $n$ 回投げる

👉　反復試行

【反復試行】

1回の試行で事象 A が起こる確率を $p$ としたとき、この試行を $n$ 回行う反復試行の確率で、Aがちょうど $r$ 回起こる確率は

$_{n}\rm{C}_{r} p^{r} (1-p)^{n-r}$

(1)　 $p(3)$ は、3 回ともに当たりとなる確率であるから、

$p(3)= \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^3=\displaystyle\frac{1}{729}$

$p(4)$ は、4 回の試行において、

最初の 3 回中 2 回当たり 1 回ハズレ、最後の4 回目当たる確率であるから、

$p(4)=_{3}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)\\=\displaystyle\frac{8}{2187}$

（２）確率の最大値の考え方

(2)　 $p(n)$ は $n$ 回の試行において、

最初の $n-1$ 回中 2 回当たり $n-3$ 回ハズレ、最後の $n$ 回目当たる確率であるから、

\(p(n)=_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9})\\right)

よって、

$\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}=\displaystyle\frac{_{n}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-2}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}{_{n-1}\rm{C}_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{n-3}\times \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)}$

$\displaystyle\frac{p(n+1)}{p(n)}= \displaystyle\frac{8_{n}\rm{C}_{2}}{9_{n-1}\rm{C}_{2}}=\displaystyle\frac{8n}{9(n-2)}$