【1984一橋大学】
三角形 \(ABC\) において，\(\tan A\)，\(\tan B\)，\(\tan C\) の値がすべて整数であるとき，それらの値を求めよ．
整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
本問では「２．条件から範囲を絞る」を利用します！
ん？？条件って三角形だけで，どうやって範囲を絞るんですか・・・？
確かに問題文のままの情報では範囲に関する情報が乏しいので，
そこで次のPointに注目しましょう！
対称性の利用
この条件があれば，「【整数問題】整数方程式（積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係）解法まとめ」でやったことがある典型問題ですね！
解答
対称性から，
\(0°<A≦B≦C<180°\) ・・・① としても一般性を失わない．
\(180°=A+B+C≧A+A+A=3A\) より
\(0°<A≦60°\) を満たす．
よって，\(0<\tan A≦\tan 60°=\sqrt{3}\)
ゆえに，\(\tan A=1\) , \(A=45°\)
このとき，\(B+C=135°\) であるから
\(C=135°-B\) より
\(\tan C=\tan(135°-B)\)
\(=\displaystyle\frac{\tan 135°-\tan B}{1+\tan 135°\tan B}\)
\(=\displaystyle\frac{\tan B+1}{\tan B-1}\)
\(=1+\displaystyle\frac{2}{\tan B-1}\)
\(\tan C\) は整数であるから，
\(\tan B-1 = -2 , -1 , 1 , 2\)
\(\tan B = -1 , 0 , 2 , 3\)
よって，
\(( \tan B , \tan C ) = ( -1 , 0 ) , ( 0 , -1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 )\)
これらのうち①を満たすのは \(( \tan B , \tan C ) = ( 2 , 3 )\)
よって，\(( \tan A , \tan B , \tan C ) = ( 1 , 2 , 3 )\)
対称性を利用して解答を作成してきたので，最後に \(A\) , \(B\) , \(C\) を並び替えたもの全てを答えることを忘れないように！
したがって，
\(( \tan A , \tan B , \tan C ) = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , ( 3 , 2 , 1 )\)
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