【2018数学ⅡB：第４問ベクトル】
(１)(２)問題と解答・解説
(１)(２)解答・解説《ア〜カ》
(１) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FA}\)
\(=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\) ・・・《ア：②》
より，
\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=\left|\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right|^2\)
\(=\left|\overrightarrow{p}\right|^2-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\) ・・・①《イ：2》
(２) \(D\) は \(AB\) を \(1 : 3\) に内分する点より
\(\overrightarrow{FD}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{FA}+1\overrightarrow{FB}}{1+3}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{p}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{q}\) ・・・②《ウ〜カ》
(３)問題と解答・解説
(３)解答・解説《キ〜チ》
\(\overrightarrow{FD}=s\overrightarrow{r}\) であるから，②により
\(\displaystyle\frac{3}{4}\overrightarrow{p}+\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{q}=s\overrightarrow{r}\)
よって，\(\overrightarrow{q}=-3\overrightarrow{p}+4s\overrightarrow{r}\) ・・・③《キクケ》
また，\(\overrightarrow{FE}=t\overrightarrow{p}\) であるから
\((1-a)\overrightarrow{q}+a\overrightarrow{r}=t\overrightarrow{p}\)
\(0<a<1\) より \(1-a\not=0\) であるから
よって， \(\overrightarrow{q}=\displaystyle\frac{t}{1-a}\overrightarrow{p}-\displaystyle\frac{a}{1-a}\overrightarrow{r}\) ・・・④《コサシ》
\(\overrightarrow{p}\) , \(\overrightarrow{r}\) は一次独立なベクトルであるから，③，④より
\(-3=\displaystyle\frac{t}{1-a}\) かつ \(4s=\displaystyle\frac{-a}{1-a}\)
したがって，\(s=\displaystyle\frac{-a}{4(1-a)}\) , \(t=-3(1-a)\) ・・・《ス〜チ》
(４)問題と解答・解説
(４)解答・解説《ツ〜ヌ》
\(\left|\overrightarrow{p}\right|=1\) のとき
①より，\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=1-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)
また，\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{FE}-\overrightarrow{FB}=t\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\)
よって，\(\overrightarrow{BE}=-3(1-a)\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\) より
\(\left|\overrightarrow{BE}\right|^2=9(1-a)^2\cdot\left|\overrightarrow{p}\right|^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)
\(=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\) ・・・《ツテ》
\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|\) のとき
\(1-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+\left|\overrightarrow{q}\right|^2\)
\(\left\{-2-6(1-a)\right\}\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=9(1-a)^2-1\)
\(2(3a-4)\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=(3a-4)(3a-2)\)
\(0<a<1\) より \(3a-4\not=0\) であるから，
\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=\displaystyle\frac{3a-2}{2}\) ・・・《ト〜ヌ》
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