【2019神戸大学・理系(後期)】tan(α+β)が整数｜三角関数と整数問題

考え方

(１) 加法定理の利用

(３)整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

本問では，積の形に変形して処理する有名タイプ！

不安な方は，「【整数問題】整数方程式（積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係）解法まとめ」を確認してください！

解答・解説

(１)

$\tan \displaystyle\frac{7\pi}{12}=\tan\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$

$=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}+\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}{1-\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}}$

$=\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

(２)

$m$ , $n$ は $0<m<n$ を満たす整数より

$m≧1$ , $n≧2>\sqrt{3}$ であるから

$\tan\alpha≧1$ , $\tan\beta>\sqrt{3}$

$0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}$ , $0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}$ より

$\alpha≧\displaystyle\frac{\pi}{4}$ , $\beta>\displaystyle\frac{\pi}{3}$

よって，$\alpha+\beta>\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{7\pi}{12}$

(３)

$0<\alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}$ , $0<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}$ と(２)の結果より

$\displaystyle\frac{7\pi}{12}<\alpha+\beta<\pi$

よって(１)より

$-2-\sqrt{3}<\tan(\alpha+\beta)<0$

ここで，$-4<-2-\sqrt{3}<-3$ であり，$\tan(\alpha+\beta)$ は整数より

$\tan(\alpha+\beta)=-3,-2,-1$

また，$\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}$ より

( ⅰ )　$\tan(\alpha+\beta)=-3$ のとき

$\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-3$

$3mn-m-n-3=0$

$9mn-3m-3n-9=0$

$(3m-1)(3n-1)=10$

$3m-1$ , $3n-1$ は整数で，$1≦m<2$ より

$2≦3m-1<3n-1$ であるから，

$( 3m-1 , 3n-1 ) = ( 2 , 5 )$

よって，$( m , n ) = ( 1 , 2 )$

( ⅱ )　$\tan(\alpha+\beta)=-2$ のとき

$\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-2$

$2mn-m-n-2=0$

$4mn-2m-2n-4=0$

$(2m-1)(2n-1)=5$

$2m-1$ , $2n-1$ は整数で，$1≦m<2$ より

$1≦2m-1<2n-1$ であるから，

$( 2m-1 , 2n-1 ) = ( 1 , 5 )$

よって，$( m , n ) = ( 1 , 3 )$

( ⅲ )　$\tan(\alpha+\beta)=-1$ のとき

$\displaystyle\frac{m+n}{1-mn}=-1$

$mn-m-n-1=0$

$(m-1)(n-1)=2$

$m-1$ , $n-1$ は整数で，$1≦m<2$ より

$0≦m-1<n-1$ であるから，

$( m-1 , n-1 ) = ( 1 , 2 )$

よって，$( m , n ) = ( 2 , 3 )$

したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より，

$( m , n ) = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 )$