【2022久留米大学・医学部(後期)】15の20乗の桁数，最高位から2桁の数

【2022久留米大学・医学部(後期)】

\(\log_{10}{2}=0.3010\) , \(\log_{10}{3}=0.4771\) , \(\log_{10}{11}=1.041\) , \(\log_{10}{17}=1.230\) とするとき，

(１)　\(\log_{10}{5}\) の値を求めよ．また，\(15^{20}\) の桁数を求めよ．

(２)　\(\log_{10}{34}\) の値を求めよ．\(15^{20}\) の最高位から \(2\) 桁の数を求めよ．

ただし，「最高位から \(2\) 桁の数」とは，\(1234\) ならば「\(12\)」と答え，\(2021\) ならば「\(20\)」と答えるとする．

考え方

桁数を求める問題は，常用対数の問題において頻出です！

「【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方」に具体例を踏まえて解説していますので，心配な方は参考にしてください！

具体的な数字でイメージを掴みましょう！

例えば、

「 2021 」の最高位から \(2\) 桁の数は「 20 」です．

\(2021=2.021\times 10^3=A\times 10^3\) とおくと、

\(A\) がどのくらいの数か分かれば、最高位から \(2\) 桁の数は求まります！

2021 において、\(2.0<A<2.1\) であるから、最高位から \(2\) 桁は「 20 」とわかります！

\(log_{10}5=log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=log_{10}10-log_{10}2=1-0.3010=\)\(0.6990\)

また，\(\log_{10}{15^{20}}=20\times \log_{10}{15}=20\times (\log_{10}{3}+\log_{10}{5})\) より

\(\log_{10}{15^{20}}=20\times (0.4771+0.699)=23.52\)

よって，\(15^{20}=10^{23.52}\) ・・・①

①より，\(10^{23}<15^{20}<10^{24}\) であるから

\(15^{20}\) は \(24\) 桁

\(\log_{10}{3.4}=\log_{10}{\displaystyle\frac{17}{5}}=\log_{10}{17}-\log_{10}{5}=1.230-0.6990=\)\(0.531\)

また，

\(\log_{10}{3.3}=\log_{10}{\displaystyle\frac{3\times 11}{10}}=0.5181\)

であるから，\(10^{0.5181}=3.3\) , \(10^{0.531}=3.4\)

①より，\(15^{20}=10^{23}\times 10^{0.52}\) なので

\(3.3<10^{0.52}<3.4\)

よって，\(3.3\times 10^{23}<15^{20}<3.4\times 10^{23}\)

したがって，\(15^{20}\) の最高位から \(2\) 桁の数は \(33\)