【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
５．a_{1}=2，a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n
６．a_{1}=1，a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン５． n 乗型
a_{n+1}=pa_{n}+q^n ( p ≠ 1 )
👉 q^{n+1} で割って置き換え
※ p=1 のとき，階差数列型(パターン３)
※ q^n については，q^{n-1} , q^{2n} など n 乗の形は様々
2^{n+1} で割ると，
\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{4a_{n}}{2^{n+1}}+\displaystyle\frac{6\cdot 2^n}{2^{n+1}}
\iff \displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=2\cdot\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}+3
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
最後に，b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n} であるから
b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=2^{n+1}-3
したがって，a_{n}=(2^{n+1}-3)\cdot 2^n
パターン6．分数型(基本)
a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}
👉 逆数をとる
※ a_{n}≠0 について記述する必要あり
※ 分数型の発展問題
【漸化式14】分数型(発展)２実数解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
a_{1}=1>0 かつ a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3} であるから，
明らかに a_{n}>0 つまり a_{n}≠0 であるので逆数をとると，
\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{2a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot \displaystyle\frac{1}{a_{n}}+2
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
\alpha=3\alpha+2 \iff \alpha=-1 より
b_{n+1}=3b_{n}+2 \iff b_{n+1}+1=3(b_{n}+1)
数列 \left\{ b_{n}+1 \right\} は，初項が b_{1}+1=2 , 公比が 3 の等比数列であるから，
b_{n}+1=2\cdot 3^{n-1} \iff b_{n}=2\cdot 3^{n-1}-1
最後に，b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}} であるから
b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}=2\cdot 3^{n-1}-1
したがって，a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}
参考：a_{n}≠0 であることの有名な証明法
上のパターン６では，明らかに正であることが分かったため簡略的な説明で a_{n}≠0 を説明した．
一般的な有名な証明法としては，背理法を用いて示す．別の場面でもよく出題されるため，解法の流れを知っておきましょう！
背理法の利用
a_{n+1}=0 であると仮定する
POINT
a_{n} ではなく，a_{n+1} からスタートします！
a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3} より
\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}=0
よって a_{n}=0
この結果から
a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0 であることがわかった．
つまり，これを繰り返すことで
a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0 ⇒ a_{n-1}=0 ⇒ \cdots ⇒ a_{2}=0 ⇒ a_{1}=0
この結果から，a_{1}=0 と導けるが，a_{1}=1 であることに矛盾する．
よって a_{n+1}≠0 であるから，a_{n}≠0
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