2018九州大学・理・第４問｜2x^3+a^2x^2+2b^2x+1=0を満たす有理数xが存在する整数a,b

(１)平方数・指数はmod 3，mod 4 が有効

(１)において、$f(1)=a^2+2b^2+3$、$f(2)=4a^2+4b^2+17$ となり、

$a^2$、$b^2$ (平方数)が共に現れる．

ここで、整数問題を扱う上ではよく出題されるPointの１つ！

まずは下の表を見てください。

平方数において

指数に関しても、同様に考えると規則を持つことが確認できる。

詳しくは類題として「2021 兵庫県立大学【整数】平方数には合同式(mod)を使え！」を参考にしてください。

また、合同式をまだ学習していない、または不安と言う人は、

合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習

で合同式をマスターしよう！

整数問題において、合同式が使えないのは致命的です・・・。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテム！しっかりとマスターしておきましょう！

参考:平方数とmod ３、４、５、８について

上で紹介したように、平方数と合同式は非常に相性抜群です！

特に $mod 3$ や $mod 4$ は頻出ですので絶対に抑え、さらに参考として、$mod 5$、$mod 8$ についても  紹介しておきます。

(１)解答

以下、$mod3$ として考える．

$a$、$b$ は $3$ の倍数でない整数であるから、

$a≡\pm1$、$b≡\pm1$ であるため、

$a^2≡1$、$b^2≡1$ となる．

このとき、

$f(1)=a^2+2b^2+3≡1+2\times1+0≡0$

$f(2)=4a^2+4b^2+17≡4\times1+4\times1+2≡1$ であるから、

$f(1)$、$f(2)$ を $3$ で割った余りは順に、$0$、$1$

(２)解答[背理法の利用]

存在しないことの証明は、背理法を利用することが多い！

存在すると仮定して、矛盾を導きましょう！

$f(x)=0$ を満たす整数 $x$ が存在すると仮定する．

このとき、$n$ を整数とすると、

$f(n)=0$ $\iff$ $2n^3+a^2n^2+2b^2n+1=0$ ・・・①

①より

$n(2n^2+a^2n+2b^2)=-1$ ・・・②

$a$、$b$、$n$ は整数であるから、$n=\pm1$

①式を②式のように式変形する考え方・方針の立て方は頻出有名問題。

経験したことがない方は、

【頻出】有理数の解をもつ⇒その解は整数｜2001神戸大学・理

を例題として演習しておきましょう！

( ⅰ )　$n=1$ のとき

①より、$a^2+2b^2+3=0$ となるが、

左辺に注目すると、$a^2+2b^2+3>0$ であるため、これは不適である．

( ⅱ )　$n=-1$ のとき

①より、$a^2-2b^2-1=0$

ここで、左辺を $3$ で割った余りに注目する( $mod3$ で考える )と、

$a^2≡1$、$b^2≡1$ であるから、

$a^2-2b^2-1≡1-2\times1-1=-2≡1$ となり、これは不適である．

したがって、$f(x)=0$ を満たす整数 $x$ は存在しない

(３)解答

有理数と言われたら、まずは初期設定はこれでしょう！

任意の有理数 $\displaystyle\frac{q}{p}$ とおく．

ただし、$p$、$q$ は互いに素な整数で、$p≧1$ とする．

(２)より、$f(x)=0$ を満たす整数 $x$ は存在しないため、$p=1$ のときは不適である．

つまり、$p≧2$ の整数とおける．このとき、

$f\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)=0$ とすると、

$2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)^3+a^2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)^2+2b^2\left(\displaystyle\frac{q}{p}\right)+1=0$

式を整理すると、

$2q^3=-p(a^2q^2+2b^2pq+p^2)$ ・・・③

$p$ は $2q^3$ の約数であるが、$p$、$q$ は互いに素な整数で、$p≧2$ であるため、$p=2$ となる．

③より、

$2q^3=-2(a^2q^2+4b^2q+4)$

$q^3=-a^2q^2-4b^2q-4$

$4=-q(q^2+a^2q+4b^2)$・・・④

④より、 $q$ は $4$ の約数で、$p(=2)$ とは互いに素な整数であるから、$q=\pm1$

(ア)　$q=1$ のとき

④より、$a^2+4b^2+5=0$ となるが、$a^2+4b^2+5>0$ であるため不適である．

(イ)　$q=-1$ のとき

④より、$-a^2+4b^2-3=0$

$(2b+a)(2b-a)=3$

$(2b+a,2b-a)=(3,1) , (1,3) , (-3,-1) , (-1,-3)$

したがって、$(a,b)=(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)$

最後に

(３)については正直難しいです。

ただ(１)、(２)については整数問題の中ではよく出題される典型問題ですから、しっかりと得点できるようにしておきましょう！

(３)については最後まで解けなくても、初期設定など、部分点を取ることができれば、十分に合格ラインは超えられます！

整数問題は、経験の差が合否の差としてはっきりと出てきます。このブログでは、授業(教科書)ではあまり扱わないが、入試では頻出の整数問題を中心に、差がつく分野を取り扱っています。

塾に通っていない、整数問題を武器にしたい受験生は是非他の記事も参考に、整数問題を得意分野にしてください！