【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題｜分散の最大・最小

【2021聖マリアンナ医科大学】

\(10\) 人の生徒が受けたテストの得点分布を以下に示す．

テストの得点は \(10\) 点刻みで平均点は \(75\) 点であった．

\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) は \(0\) 以上の整数で，同じ数であってもよい．

(１)　\(a=2\) のとき，\(d\) の値となりうる整数をすべて求めよ．

(２)　分散が最大となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ．

(３)　分散が最小となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ．

データの分析：基本公式の確認・まとめ
解説・解答

データの分析：基本公式の確認・まとめ

平均値

変量 \(x\) についてのデータが \(n\) 個の値 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) であるとき，それらの総和を \(n\) で割ったものを，データの 平均値 といい， \(\overline{x}\) で表す．

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})\)

中央値，最頻値

データを値の大きさの順に並べたとき，中央の位置にくる値を，データの中央値(メジアン)という．

《例①》データが奇数個の場合

「データ：10 , 12 , 15 , 17 , 18 」の中央値は，「 15 」となる．

《例②》データが偶数個の場合

「データ：10 , 12 , 15 , 17 , 18 , 20 」の中央値は，15 と 17 の平均値をとった「 16 」となる．

データにおいて，最も個数の多い値を，そのデータの最頻値(モード)という．

分散と標準偏差

変量 \(x\) についてのデータが \(n\) 個の値 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) であるする．

また，\(n\) 個の値 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) の平均値を \(\overline{x}\) とするとき，

\(s^2=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^2+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^2\right\}\)

この値 \(s^2\) を分散という．また，\(\sqrt{s^2}\) を \(s\) で表し，標準偏差という．

( \(x\) のデータの分散 ) = ( \(x^2\) のデータの平均値 ) ー ( \(x\) のデータの平均値 )\(^2\)

と式変形することもできる．(証明は省略)

\(2\) 乗の平均，平均の \(2\) 乗から分散を求める公式は差がつきます！

演習問題として「【2021信州大学】相関係数の計算、分散=(2乗の平均)-(平均の2乗)の利用」をご参考に！

共分散と相関係数

\(2\) つの変量 \(x\) , \(y\) のデータが \(n\) 個の \(x\) , \(y\) の値の組として

\(( x_{1} , y_{1} )\) , \(( x_{2} , y_{2} )\) , \(\cdots\) , \(( x_{n} , y_{n} )\) のとき，

\(s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\right\}\)

この値 \(s_{xy}\) を共分散という．

さらに， \(x\) の標準偏差を \(s_{x}\) , \(y\) の標準偏差を \(s_{y}\) とするとき，

\(r=\displaystyle\frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}\)

この値 \(r\) を相関係数という．