【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題｜分散の最大・最小

【2021聖マリアンナ医科大学】

$10$ 人の生徒が受けたテストの得点分布を以下に示す．

テストの得点は $10$ 点刻みで平均点は $75$ 点であった．

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は $0$ 以上の整数で，同じ数であってもよい．

(１)　 $a=2$ のとき， $d$ の値となりうる整数をすべて求めよ．

(２)　分散が最大となる $( a , b , c , d )$ を求めよ．

(３)　分散が最小となる $( a , b , c , d )$ を求めよ．

データの分析：基本公式の確認・まとめ
解説・解答

データの分析：基本公式の確認・まとめ

平均値

変量 $x$ についてのデータが $n$ 個の値 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\cdots$ , $x_{n}$ であるとき，それらの総和を $n$ で割ったものを，データの 平均値 といい， $\overline{x}$ で表す．

$\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})$

中央値，最頻値

データを値の大きさの順に並べたとき，中央の位置にくる値を，データの中央値(メジアン)という．

《例①》データが奇数個の場合

「データ：10 , 12 , 15 , 17 , 18 」の中央値は，「 15 」となる．

《例②》データが偶数個の場合

「データ：10 , 12 , 15 , 17 , 18 , 20 」の中央値は，15 と 17 の平均値をとった「 16 」となる．

データにおいて，最も個数の多い値を，そのデータの最頻値(モード)という．

分散と標準偏差

変量 $x$ についてのデータが $n$ 個の値 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\cdots$ , $x_{n}$ であるする．

また， $n$ 個の値 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\cdots$ , $x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ とするとき，

$s^2=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^2+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^2\right\}$

この値 $s^2$ をという．また， $\sqrt{s^2}$ を $s$ で表し，標準偏差という．

(

$x$ のデータの分散 ) = (

$x^2$ のデータの平均値 ) ー (

$x$ のデータの平均値 )

$^2$

と式変形することもできる．(証明は省略)

$2$ 乗の平均，平均の $2$ 乗から分散を求める公式は差がつきます！

演習問題として「【2021信州大学】相関係数の計算、分散=(2乗の平均)-(平均の2乗)の利用」をご参考に！

共分散と相関係数

$2$ つの変量 $x$ , $y$ のデータが $n$ 個の $x$ , $y$ の値の組として

$( x_{1} , y_{1} )$ , $( x_{2} , y_{2} )$ , $\cdots$ , $( x_{n} , y_{n} )$ のとき，

$s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\right\}$

この値

$s_{xy}$ を共分散という．

さらに，

$x$ の標準偏差を

$s_{x}$ ,

$y$ の標準偏差を

$s_{y}$ とするとき，

$r=\displaystyle\frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}$

この値

$r$ を相関係数という．

解説・解答

【2021聖マリアンナ医科大学】

$10$ 人の生徒が受けたテストの得点分布を以下に示す．

テストの得点は $10$ 点刻みで平均点は $75$ 点であった．

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は $0$ 以上の整数で，同じ数であってもよい．

(１)　 $a=2$ のとき， $d$ の値となりうる整数をすべて求めよ．

(２)　分散が最大となる $( a , b , c , d )$ を求めよ．

(３)　分散が最小となる $( a , b , c , d )$ を求めよ．

テストを $10$ 人の生徒が受けたので，

$1+1+a+b+c+d+a=10$ $\iff$ $2a+b+c+d=8$ ・・・①

また平均点は $75$ 点であるから，

$40+50+60a+70b+80c+90d+100a=75\times 10$

$\iff$ $16a+7b+8c+9d=66$ ・・・②

②ー① $\times 7$ より

$2a+c+2d=10$ ・・・③

①ー③より

$b-d=-2$ $\iff$ $b=d-2$ ・・・④

$b$ は $0$ 以上の整数なので，④より $d≧2$ ・・・⑤

(１)　 $a=2$ のとき

③より $c+2d=6$ $\iff$ $c=2(3-d)$

$c$ は

$0$ 以上の整数なので，

$d≦3$

よって⑤より， $d = 2 , 3$

(２) , (３)

分散を

$s^2$ とおくと

$s^2=\displaystyle\frac{1}{10}\left\{(40-75)^2+(50-75)^2+a(60-75)^2+b(70-75)^2\\+c(80-75)^2+d(90-75)^2+a(100-75)^2\right\}$

この式をただただ計算するのは大変！工夫をしましょう！

本問では，最大値・最小値となる $( a , b , c , d )$ を求めることが目的ですから，不要な計算は省略していきましょう！

$10s^2=(15^2+25^2)a+5^2b+5^2c+15^2d+$ (定数) と表せ，

$10s^2=5^2(34a+b+c+9d)+$ (定数)

①より

$b+c=-2a-d+8$ であるから

$10s^2=5^2(32a+8d)+$ (定数) ・・・⑥

ここで，

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，

$d$ は

$0$ 以上の整数かつ，

$2a+b+c+d=8$ ・・・①，

$d≧2$ ・・・⑤ より

$a = 0 , 1 , 2 , 3$

分散が最大

$\iff$ ⑥が最大となればよいので，

$a=3$ となればよい

このとき①より，

$b+c+d=2$ かつ

$d≧2$ ・・・⑤ であり，

$b$ ，

$c$ は

$0$ 以上の整数であることに注意すると，

求める $( a , b , c , d ) = ( 3 , 0 , 0 , 2 )$

また，分散が最小となるとき，

$a=0$ ,

$d=2$ となればよい

このとき ④より

$b=0$ , ①より

$c=6$

したがって， $( a , b , c , d ) = ( 0 , 0 , 6 , 2 )$

【時短裏技】共通テスト｜データの分析（変量の変換・標準化）

数学ⅠA データの分析の「変量の変換」「標準化」についてまとめ。2017、2019年のセンター試験の過去問を用いて解説。時短裏技のまとめ。平均、分散、標準偏差、共分散、相関係数公式まとめ。