【09大阪教育大学】数学Ⅱの頻出テーマ：不等式の証明・相加相乗平均を利用した発展・応用問題

考え方：不等式の証明について

不等式の証明の解き方(まとめ)

【１】〜【５】の詳細については、【数学Ⅱ】不等式の証明（まとめ）解法５つ を参考にしてください。

相加平均・相乗平均の関係

「相加平均・相乗平均の関係」は受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです．そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません．

「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります．

また，基本的な問題で相加平均・相乗平均の確認をしたい場合は、

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（基本）

を確認してください．

相加平均・相乗平均を使うタイミング

具体的な例題を用いたより詳細の説明については

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）

をご確認ください。

解答(１)

和( $s+t$ )と積( $st$ ) に関する不等式の証明ですから，相加平均・相乗平均の関係を利用したい！と思えるようになりましょう！

$s$ , $t$ は実数で，$s>0$ と $st≧4$ であるから，$t>0$ であり，相加・相乗平均の関係から

$s+t≧2\sqrt{st}≧2\sqrt{4}=4$

よって，$s+t≧4$

等号成立は，$s+t=4$ かつ $s=t$ $\iff$ $s=t=2$ のとき成立する．

解答(２)

$x^8(y-x^2)≧4$ より， $x^5\cdot x^3(y-x^2)≧4$・・・①

$x$ , $y$ は実数で，$x>0$ であるから，$x^3>0$ , $x^3(y-x^2)>0$ なので，相加・相乗平均の関係から

$x^5+x^3(y-x^2)≧2\sqrt{x^5\cdot x^3(y-x^2)}$

①より，$x^5+x^3(y-x^2)≧2\sqrt{4}=4$ $\iff$ $x^3y≧4$ ・・・②

等号成立は，$x^5=x^3(y-x^2)=2$

$\iff$ $x=2^{\frac{1}{5}}$ , $y=2^{\frac{7}{5}}$ のとき

次に，$x^3y=x^2\cdot xy$ であり，$x^2>0$ , $xy>0$ であるから，相加・相乗平均の関係より，

$x^2+xy≧2\sqrt{x^3y}$

②より，$x^2+xy≧2\sqrt{4}≧4$

したがって，$x(x+y)≧4$

(２)の問題はなかなか難しい・・・。

この問題を見て相加相乗平均が思いついた人は優秀！

それではなぜ気がつけるのか？？

今回は(１)があるから気がつける問題。

(１)→(２)→(３)→・・・と問題がつながっていく，次のヒントになっていることは非常に多い！手が止まったら１つ前で何をやったのか、１つ後で何を聞かれているのかをチェックする習慣を！

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