2021京都大学(文系：第4問)pが素数ならばp^4+14は素数でない

はじめに

数あるサイトの中からご覧いただきありがとうございます。

「マスマス学ぶ」の亮太です。

ここではただ解答を紹介するだけでなく、問題を見てからどのように考えるのか、考え方・思考の仕方をメインにお話しします。

整数問題は多くの人が解答を見れば理解できます。しかし、多くの人が解けません。

それはしっかりと系統的に考え方が整理されていないからです。

様々な良問の整数問題を通して、考え方を身につけていってください！

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！

さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。

整数問題では、実験の中から規則を見つけて方針を立てていくことが多いです。

問題文と睨めっこしてもダメ！手を動かしましょう！

2021年　京大（文系）第４問

【考え方・思考の仕方】

《Step1》

※例えば「5の倍数の中で素数になるのは５だけ」であるから、５ではない５の倍数であることが証明できればよい。と言う形で考える．

《Step2》

方針がつかめなければとにかく手を動かす(実験)

［実験］$p$ に２、３、５、７・・・・・と代入

・$p=2$ のとき、$2^4+14=30$　(３の倍数になる)

・$p=3$ のとき、$3^4+14=95$　(５の倍数になる)

・$p=5$ のとき、$5^4+14=639$　(３の倍数になる)

・$p=7$ のとき、$7^4+14=2415$　(３の倍数になる)

合同式（ mod 3 ）って何？と言う人は、「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」で合同式について理解しましょう！

さらに合同式を使う練習をしたい人は「合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習」を参考にしてください。

【解答】

(ⅰ)　$p=3$ のとき

$p^4+14=3^4+14=95$ となり、これは素数ではない

(ⅱ)　$p≠3$ の素数のとき

３を法として

(ア)　$p≡1$ のとき

$p^4+14≡1^4+14=15≡0$

(イ)　$p≡2$ のとき

$p^4+14≡2^4+14=30≡0$

(ア)、(イ)より$p≠3$ の素数のとき$p^4+14$ は３の倍数となる．

さらに、$p^4+14=3$ を満たす素数 $p$ は存在しないため、$p^4+14$は素数ではない．

(ⅰ)、(ⅱ)から題意は示された．

【参考】(ⅱ)の(ア)と(イ)について

$p≡2≡(-1)$ より(ア)と(イ)をまとめて

$p≡±1$ として処理できると楽である．

【参考②】(ⅱ)の別解

$p^4+14=(p^4-1)+15=(p-1)(p+1)(p^2+1)+15$

$p≠3$ の素数のとき、$p-1$ または $p+1$ のいずれかは３の倍数

最後に

いかがだったでしょうか？

偶然解けたでは絶対にダメ！

大学受験において、

同じ問題は出題されません。

しかし、同じ形式の問題はよく出題されます！

しっかりと考え方、思考の仕方を学び、初見の問題でも手が出るように演習をしていきましょう！

2018 京都大学（数学）整数問題も類題として良い演習問題になるかと思います。

ぜひ復習に利用してみてください。