【問題】\(9^{50}\) について以下の問に答えよ．
( 1 ) 何桁の数か求めよ．
( 2 ) 最高位の数を求めよ．
( 3 ) 一の位の数を求めよ．
ただし、\(log_{10}2=0.3010\)、\(log_{10}3=0.4771\) とする．
桁数
考え方
具体的な数字でイメージを掴みましょう！
例えば、
「 2021 」は「 4 桁 」の自然数です．
このとき、
\(1000<2021<10000\)
\(10^3<2021<10^4\)
であり、『右辺の指数』が『桁数』と一致する
つまり、
\(10^{n-1}<9^{50}<10^n\) を満たす \(n\) を見つければ良い！
そこで常用定数（底を 10 とする対数）をとると、
\(log_{10}10^{n-1}<log_{10}9^{50}<log_{10}10^n\)
\(n-1 < log_{10}9^{50} < n\)
よって、『右辺の値』が『桁数』と一致する
\(N\) が \(n\) 桁の自然数であるとき
\(10^{n-1} ≦ N < 10^n\)
⇔ \(n-1 ≦ log_{10}N < n\)
（１）解答
\(log_{10}9^{50}=log_{10}3^{100}=100\times log_{10}3\)
\(log_{10}3=0.4771\) より、
\(log_{10}9^{50}=47.71\)
よって、
\(47 < log_{10}9^{50} < 48\)
\(10^{47} < 9^{50} < 10^{48}\)
したがって、\(9^{50}\) は 48 桁
最高位の数
考え方
具体的な数字でイメージを掴みましょう！
例えば、
「 2021 」の最高位の数は「 2 」です．
\(2021=2.021\times 10^3=A\times 10^3\) とおくと、
\(A\) がどのくらいの数か分かれば、最高位は求まります.
2021 において、\(2<A<3\) であるから、最高位は「 2 」
\(N=A\times 10^a\) と表される数において、
\(n≦A<n+1\) のとき、\(N\) の最高位は「 \(n\) 」
予備知識
最高位を求める上で必要になる値です．事前準備として求めておきましょう！
・\(log_{10}2=0.3010\)
・\(log_{10}3=0.4771\)
・\(log_{10}4=log_{10}2^2=2log_{10}2=0.6020\)
・\(log_{10}5=log_{10}\displaystyle\frac{10}{2}=log_{10}10-log_{10}2=1-0.3010=0.6990\)
\(log_{10}5\) はよく利用します．計算の仕方も覚えておきましょう！
・\(log_{10}6=log_{10}2+log_{10}3=0.7781\)
・\(log_{10}7\) の値は・・・私は覚えていません！
必要であれば何かしらの情報が与えられると思います．
参考として近似値を載せておくと「\(log_{10}7=0.8451\)」
・\(log_{10}8=log_{10}2^3=3log_{10}2=0.9030\)
・\(log_{10}9=log_{10}3^2=2log_{10}3=0.9542\)
（２）解答
（１）より、
\(log_{10}9^{50}=47.71\) より
\(9^{50}=10^{47.71}=10^{0.71}\times 10^{47}\)
ここで、\(A=10^{0.71}\) とおく．
\(A\) がどれくらいの数かを考えれば良いね！
\(log_{10}5=0.6990\)、\(log_{10}6=0.7781\) より
\(5=10^{0.6990}\)、\(6=10^{0.7781}\)
したがって、\(5<A<6\) なので、
\(9^{50}\) の最高位の数は 5
一の位の数
考え方
一の位について問われたら、いくつか実験を行いましょう！
・\(9^1=9\) ⇒ 一の位は「 9 」
・\(9^2=81\) ⇒ 一の位は「 1 」
・\(9^3=729\) ⇒ 一の位は「 9 」
・\(9^4=6561\) ⇒ 一の位は「 1 」
となり、「 9 」と「 1 」を繰り返す．
（３）解答
\(9^n\) の一の位は、「 9 」と「 1 」を繰り返すので、
\(9^{50}\) の一の位は 1
【参考】（３）の補足
上の（３）の解答において、なぜに「 9 」と「 1 」を繰り返すことが言えるのか？
この解答では、「予想」と捉えられる可能性があるため、より正確な解答を 2 通り与えておきます．
別解① 合同式の利用
別解② 規則性を持つことを証明
\(a , b\) の一の位が等しい
👉 \(a-b\) は 10 の倍数
例えば、82 と 52 は一の位が等しい
このとき、\(82-52=30\) であるから、差をとると10 の倍数になる！
本問では、「 9 」と「 1 」を繰り返すことの証明をしたいので、
\(9^n\) と \(9^{n+2}\) の一の位の数が等しいことを証明すれば良いね！
\(9^{n+2}-9^n=81\cdot 9^n-9^n=80\cdot 9^n\)
よって差が 10 の倍数となるため、
\(9^n\) と \(9^{n+2}\) の一の位の数が等しい．
つまり、\(9^{50}\) の一の位は \(9^{48}\ , 9^{46} , \cdots , 9^2\) の一の位に等しい．
したがって、\(9^{50}\) の一の位は 1
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