【奈良県立医科大学】a^(p-1)-1=p^k(aは2以上の整数、pは2より大きい素数)

【奈良県立医科大学】

$a$ を $2$ 以上の整数、 $p$ を $2$ よち大きい素数とする．

ある正整数 $k$ に対して等式

$$a^{p-1}-1=p^k$$

が成り立つのは、$a=2$、$p=3$ の場合に限ることを示せ．

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！

(素数) ＝ (積の形) に変形できれば、素数の約数は $1$ か自分自身しかないため、大きく可能性を絞ることができます！

入試問題において、素数の中でも $2$ と $3$ は特別扱いされることが非常に多い!

そこで、$2$ より大きい素数 ( $2$ を除く素数 ) 、 $3$ より大きい素数 ( $2$ と $3$ を除く素数 ) という設定・条件の問題はたくさんあります。そのような問題を見たら、次の条件を考えてみましょう！

・$2$ より大きい素数 ⇒ $2m+1$ の形で表される

・$3$ より大きい素数 ⇒ $6m-1 , 6m+1$ の形で表される

《注意》逆は成立しない．

（反例） $m=4$ のとき、$2m+1=9$ 、 $6m+1=25$ と素数ではない．

$p$ は $2$ より大きい素数であるから、自然数 $m$ を用いて、$p=2m+1$ とおける．

$a^{p-1}-1=p^k$ より

$a^{2m}-1=p^k$

$(a^m+1)(a^m-1)=p^k$

$p$ は素数であるから、

$\begin{cases}a^m+1=p^x\\a^m-1=p^y \end{cases}$ ・・・①

ただし $x$、$y$ は、$x>y≧0$、$x+y=k$ を満たす整数とする

①より差をとると、

$2=p^x-p^y=p^y(p^{x-y}-1)$ ・・・②

$p$ は $2$ より大きい素数であるから、$y≧1$ とすると $p^y>3$ となり②が成立しない．

よって、$y=0$

このとき①より、$a^m-1=p^0=1$

よって、$a^m=2$ ・・・③

$a$ は $2$ 以上の整数なので③を満たすのは、$a=2$、$m=1$

したがって、$p=2\times1+1=3$

逆にこのとき、

$a^{p-1}-1=p^k$ $\iff$ $2^{3-1}-1=2^k$ $\iff$ $k=1$

となり $k$ は正整数となり条件を満たす．

以上より、$a^{p-1}-1=p^k$ が成り立つのは、$a=2$、$p=3$