【厳選12題】複素数平面(数学Ⅲ)まとめ｜２次試験対策・入試問題演習

【問題１】

複素数平面 \(\alpha\)、\(\beta\) が \(| \alpha | = | \beta | = | \alpha – \beta | = 2\) を満たしているとき、次の値を求めよ．

(1)　\(| \alpha+\beta |\)

(2)　\(\displaystyle\frac{\alpha^{3}}{\beta^{3}}\)

(3)　\(| \alpha^2+\beta^2 |\)

【問題２】

【1】　次の問に答えよ．

(1)　複素数 \(z\) が、\(z^3=1\)、\(z\not=1\) を満たすとき

\(\displaystyle\frac{1}{1-z}+\displaystyle\frac{1}{1-z^2}\) の値を求めよ．

(2)　複素数 \(z\) が、\(z^5=1\)、\(z\not=1\) のとき、

\(\displaystyle\frac{1}{1-z}+\displaystyle\frac{1}{1-z^2}+\displaystyle\frac{1}{1-z^3}+\displaystyle\frac{1}{1-z^4}\) の値を求めよ．

【2】　次の問に答えよ．

(1)　複素数 \(z\) が、\(z^3=1\)、\(z\not=1\) を満たすとき、\((1-z)(1-z^2)\) の値を求めよ．

(2)　\(\alpha=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{5}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{5}\) として、\(x\) についての恒等式 \((x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)=x^4+x^3+x^2+x+1\) を示せ．

(3)　\(n\) は \(3\) 以上の自然数とする．

\(\beta=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{n}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{n}\) として、

等式 \((1-\beta)(1-\beta^2)(1-\beta^3)\cdots(1-\beta^{n-1})=n\) を示せ．

(4)　\(\displaystyle\frac{n}{2^{n-1}}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{n}\sin \displaystyle\frac{2\pi}{n}\cdots\sin \displaystyle\frac{(n-1)\pi}{n}\) を示せ．

【問題3】

(1)　複素数 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) は、\(| \alpha | = | \beta | = | \gamma | = 1\) である．

このとき、\(\displaystyle\frac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}\) は実数であることを証明せよ．

(2)　\(z\) は複素数で \(| z | = 1\) であるとき、\(z^2+2z+\displaystyle\frac{1}{z}\) が負の実数であるような \(z\) を求めよ．

【問題4】

複素数 \(z\) に関する等式

\(| z + i |+| z – i | = 2\sqrt{2}\) ・・・①

について、次の問に答えよ．

(1)　\(z\) が①を満たすとき、\(\overline{z}\) も①を満たすことを示せ．

(2)　\(z=x+yi\) が①を満たすとき、\(w=\sqrt{2}x+yi\) は \(| w | = \sqrt{2}\) を満たすことを示せ．

【問題５】

複素数 \(z_{1}\)、\(z_{2}\) があって、\(| z_{1} | = | z_{2} | = 1\)、\(arg z_{1}=\theta_{1}\)、\(arg z_{2}=\theta_{2}\) \(\left(0≦\theta_{1}<\theta_{2}≦\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) とする．

\(w_{1}=z_{1}+z_{2}\)、\(w_{2}=z_{1}z_{2}\)、\(w_{3}=\displaystyle\frac{z_{2}}{z_{1}}\) とするとき、次の問に答えよ．

ただし、複素数平面の原点を \(O\) とする．

(1)　\(w_{1}\)、\(w_{2}\)、\(w_{3}\) の偏角を求めよ．

(2)　線分 \(Ow_{1}\) が \(∠w_{1}Ow_{2}\) の二等分線となるとき、\(|w_{1}|\) を \(\theta_{1}\) で表せ．

【問題６】

\(\alpha\) ( \(\alpha\not=0\) ) 、\(\beta\)、\(\gamma\) は複素数とする．複素平面上で、\(\beta\)、\(\gamma\) とが、\(O\) と \(\alpha\) とを通る直線に関して対称な点であるためには、

「\(\overline{\alpha}\gamma=\alpha\overline{\beta}\)」

が必要十分条件であることをしめせ．

【問題７】(2004横浜国立大学)

異なる複素数 \(\alpha\)、 \(\beta\)、\(\gamma\) が、\(2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\alpha\gamma=0\) を満たすとき、次の問に答えよ．

(1)　\(\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\) の値を求めよ．

(2)　複素数平面上で、\(3\) 点 \(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\) を頂点とする \(△ABC\) はどのような三角形か．

(3)　\(\alpha\)、 \(\beta\)、\(\gamma\) が \(x\) の \(3\) 次方程式 \(x^3+kx+20=0\) ( \(k\) は実数の定数) の解であるとき、\(\alpha\)、 \(\beta\)、\(\gamma\) および \(k\) の値を求めよ．

【問題８】(1970上智大学)

\(3\) つの複素数 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) の間に、関係式 \(| \alpha |=| \beta |=| \gamma |=1\)、\(\alpha+\beta+\gamma=0\) が成り立つならば、複素数平面上で \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) を \(3\) 頂点とする三角形は [　　　] である．

【問題9】(1967 一橋大学)

平面上ではじめに座標の原点にあった動点 \(P\) が、\(x\) 軸の正方向に \(1\) だけ進む．

次に進行方向に向かって左へ \(30°\) だけ向きを変えて、\(\displaystyle\frac{1}{2}\) だけ進む．

次に進行方向に向かって左へ \(30°\) だけ向きを変えて、\(\displaystyle\frac{1}{4}\) だけ進む．

以下同じように、進行方向を左へ \(30°\) ずつ変え、進む距離を前回の半分にしていくとき、動点 \(P\) の極限値の位置を求めよ．

【問題10】2004 京都大学

複素数 \(\alpha\) に対してその共役な複素数を \(\overline{\alpha}\) で表す．

\(\alpha\) を実数でない複素数とする．複素数平面内の円 \(C\) が \(1\)、\(-1\)、\(\alpha\) を通るならば、\(C\) は \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) も通ることを示せ．

【問題11】2000　名古屋市立大学

\(2\) つの複素数 \(z\) と \(w\) との間に、\(w=\displaystyle\frac{z+i}{z+1}\) なる関係がある．

ただし、\(z+1\not=0\) とする．

(1)　\(z\) が複素数平面上の虚軸を動くとき、\(w\) の軌跡を求め、図示せよ．

(2)　\(z\) が複素数平面上の原点を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき、\(w\) の軌跡を求めよ．

【問題12】

複素数平面上で \(| iz+3 |≦1\) を満たす \(z\) に対して、

\(| z-i+2 |\) の最大値と最小値を求めよ．