【整数問題まとめ】”証明”に関する頻出・有名問題まとめ

【2001京都大学・第３問(文)】

任意の整数 \(n\) に対し、 \(n^9-n^3\) は \(9\) で割り切れることを示せ．

【2003神戸大学・後期(改)】

数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) は、条件 \(a_{1}=7\)、\(a_{n+1}=(a_{n})^6\)　\(( n=1,2,3,\cdots )\)

によって定められるとする．\(n\) を自然数とするとき、\(a_{n}\) を \(6^n\) で割ったときの余りが \(1\) になることを示せ．

【1997一橋大学】

すべての正の整数 \(n\) に対して \(5^n+an+b\) が \(16\) の倍数となるような \(16\) 以下の正の整数 \(a\)、\(b\) を求めよ．

\(a , b\) は \(0\) でない整数とする．

「\(ax+by=1\)が整数解をもつ」・・・①

「\(a , b\) が互いに素」・・・②

①と②が必要十分条件であることを証明せよ．

【2021奈良県立医科大学・後期】

正整数 \(a\)、\(b\) の最大公約数を \(( a , b )\) で表す．

(１)　任意の正整数 \(m\)、\(n\) に対して、等式

\(( m+n , n ) = ( m , n )\) が成り立つことを証明せよ．

(２)　互いに素な正整数 \(m\)、\(n\) に対して、\((m+n-1)!\) は \(m!n!\) によって割り切れることを証明せよ．

【2022明治大学・情報コミュニケーション[Ⅳ]】

\(n\)、\(p\) はともに \(2\) より大きな自然数である．また、\(p\) は素数である．このとき、次の問に答えよ．

(１)　\(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れないことを示せ．

(２)　\(n\) と \(2n+1\) は互いに素であることを示せ．

(３)　\(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるときの \(n\) の値をすべて求めよ．

【2001神戸大学・理(一部改)】

次の問に答えよ．

(１)　\(a\)、\(b\)、\(c\) を整数とする．\(x\) に関する \(3\) 次方程式

\(x^3+ax^2+bx+c=0\)

が有理数の解をもつならば、その解は整数であることを示せ．

(２)　方程式 \(x^3+2x^2+2=0\) は、有理数の解をもたないことを示せ．

【1985お茶の水女子大学】

\(a\)，\(b\)，\(c\) は整数で，\(a^3+2b^3+4c^3=2abc\) とする．

(１)　\(a\)，\(b\)，\(c\) はいずれも偶数であることを示せ．

(２)　\(a=b=c=0\) であることを示せ．

\(2\) 次関数 \(f(x)=ax^2+bx\) がある．ある整数 \(k\) に対して、\(f(k-1)\)、\(f(k)\)、\(f(k+1)\) が整数となるとき、次に答えよ．

(１)　\(2a\)、\(2b\)、\(a+b\) は整数であることを示せ．

(２)　すべての正の整数 \(n\) に対して \(f(n)\) は整数であることを示せ．

\(p\) が素数で、\(a\) が \(p\) の倍数でない正の整数のとき

\(a^{p-1} ≡ 1\)    \(( mod p )\)

【問題①】

366 人の中には、誕生日が同じ 2 人が少なくとも 1 組以上存在することを証明せよ．

※うるう年は考えないものとする．

【問題②】

「 1 , 2 , 3 , ・・・ , 100 から 51 個の異なる自然数を選ぶと、互いに素な数が必ず存在する 」

ことを証明せよ．

【問題③】

「空間内に与えられた \(n\) 個の格子点の間を結ぶ線分を考える．このとき、これらの線分の中点の少なくとも 1 つは格子点である」

\(n\) として、どんな自然数を考えれば、上の命題は常に正しいか．適当な \(n\) を 1 つあげ、その理由を説明せよ．

ただし、格子点とは、\(x , y , z\) がすべて整数であるような点 \(( x , y , z )\) のことである．