【京都大学・整数問題】良問・頻出過去問の考え方・解答まとめ

\(n\) を自然数とする．

\(3\) つの整数 \(n^2+2\)、\(n^4+2\)、\(n^6+2\) の最大公約数 \(A_{n}\) を求めよ．

\(n\) を2以上の整数とする．\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ．

 \(p\) が素数ならば  \(p^{4}+14\)  は素数でないことを示せ．

\(a\) を奇数とし，整数 \(m\) ，\(n\) に対して，

\(f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8\)

とおく．\(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるような整数 \(( m , n )\) が存在するための \(a\) の条件を求めよ．

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする．

\(| f(n) |\) と \(| f(n+1) |\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ．

素数 \(p , q\) を用いて \(p^q+q^p\) と表される素数をすべて求めよ．

\(n\) を \(1\) 以上の整数とするとき，次の \(2\) つの命題はそれぞれ正しいか．正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ．

命題 \(p\)：ある \(n\) に対して，\(\sqrt{n}\) と \(\sqrt{n+1}\) は共に有理数である．

命題 \(q\)：すべての \(n\) に対して，\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数である．

任意の整数 \(n\) に対し、 \(n^9-n^3\) は \(9\) で割り切れることを示せ．